Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+} \operatorname{asin}{\left(2 \left(x - 3\right) \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(e^{12 - 4 x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x - 6 \right)}}{e^{12 - 4 x} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 \left(x - 3\right) \right)}}{e^{12 - 4 x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(2 \left(x - 3\right) \right)}}{\frac{d}{d x} \left(e^{12 - 4 x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(- \frac{e^{4 x - 12}}{2 \sqrt{1 - 4 \left(x - 3\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+} - \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to 3^+} - \frac{1}{2}$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)