Límite de la función t*e^(-t)*log(t)

Tenemos la indeterminación de tipo

oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{t \to \infty}\left(t \log{\left(t \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{t \to \infty} e^{t} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{t \to \infty}\left(e^{- t} t \log{\left(t \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{t \to \infty}\left(t e^{- t} \log{\left(t \right)}\right)$$
=
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d t} t \log{\left(t \right)}}{\frac{d}{d t} e^{t}}\right)$$
=
$$\lim_{t \to \infty}\left(\left(\log{\left(t \right)} + 1\right) e^{- t}\right)$$
=
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d t} \left(\log{\left(t \right)} + 1\right)}{\frac{d}{d t} e^{t}}\right)$$
=
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{e^{- t}}{t}\right)$$
=
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{e^{- t}}{t}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)