Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{6} - 8 x + 6} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} + 3 x + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- 8 x + \left(x^{6} + 6\right)}}{3 x + \left(2 x^{2} + 4\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{6} - 8 x + 6}}{2 x^{2} + 3 x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{x^{6} - 8 x + 6}}{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + 3 x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{5} - 4}{\left(4 x + 3\right) \sqrt{x^{6} - 8 x + 6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{3 x^{5} - 4}{4 x + 3}}{\frac{d}{d x} \sqrt{x^{6} - 8 x + 6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{12 x^{5}}{16 x^{2} + 24 x + 9} + \frac{15 x^{4}}{4 x + 3} + \frac{16}{16 x^{2} + 24 x + 9}}{\frac{3 x^{5}}{\sqrt{x^{6} - 8 x + 6}} - \frac{4}{\sqrt{x^{6} - 8 x + 6}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{12 x^{5}}{16 x^{2} + 24 x + 9} + \frac{15 x^{4}}{4 x + 3} + \frac{16}{16 x^{2} + 24 x + 9}}{\frac{3 x^{5}}{\sqrt{x^{6} - 8 x + 6}} - \frac{4}{\sqrt{x^{6} - 8 x + 6}}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)