Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{1 - \tan{\left(x \right)}} + \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(4 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{1 - \tan{\left(x \right)}} + \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}}{\sin{\left(4 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \sqrt{1 - \tan{\left(x \right)}} + \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(4 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}} - \frac{- \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 - \tan{\left(x \right)}}}}{4 \cos{\left(4 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{8 \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}} + \frac{1}{8 \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{8 \sqrt{1 - \tan{\left(x \right)}}} + \frac{1}{8 \sqrt{1 - \tan{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{8 \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}} + \frac{1}{8 \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{8 \sqrt{1 - \tan{\left(x \right)}}} + \frac{1}{8 \sqrt{1 - \tan{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$\frac{1}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)