Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(2 \sqrt{2^{n} + 5} \left(n + 1\right) \left(2 n + 1\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{2^{n + 1} + 5} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \sqrt{2^{n} + 5} \left(n + 1\right) \left(2 n + 1\right)}{\sqrt{2^{n + 1} + 5}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \sqrt{2^{n} + 5} \left(n + 1\right) \left(2 n + 1\right)}{\sqrt{2^{n + 1} + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 2 \sqrt{2^{n} + 5} \left(n + 1\right) \left(2 n + 1\right)}{\frac{d}{d n} \sqrt{2^{n + 1} + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2^{- n} \sqrt{2 \cdot 2^{n} + 5} \left(\frac{2 \cdot 2^{n} n^{2} \log{\left(2 \right)}}{\sqrt{2^{n} + 5}} + \frac{3 \cdot 2^{n} n \log{\left(2 \right)}}{\sqrt{2^{n} + 5}} + \frac{2^{n} \log{\left(2 \right)}}{\sqrt{2^{n} + 5}} + 8 n \sqrt{2^{n} + 5} + 6 \sqrt{2^{n} + 5}\right)}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2^{- n} \sqrt{2 \cdot 2^{n} + 5} \left(\frac{2 \cdot 2^{n} n^{2} \log{\left(2 \right)}}{\sqrt{2^{n} + 5}} + \frac{3 \cdot 2^{n} n \log{\left(2 \right)}}{\sqrt{2^{n} + 5}} + \frac{2^{n} \log{\left(2 \right)}}{\sqrt{2^{n} + 5}} + 8 n \sqrt{2^{n} + 5} + 6 \sqrt{2^{n} + 5}\right)}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)