Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x/(-2+x)
-
Límite de x^(-2)
-
Límite de (-4+x^2)/(6+x^2-5*x)
-
Límite de (2-sqrt(-3+x))/(-49+x^2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno +x)-sqrt(- uno +x)
- raíz cuadrada de (1 más x) menos raíz cuadrada de ( menos 1 más x)
- raíz cuadrada de (uno más x) menos raíz cuadrada de ( menos uno más x)
- √(1+x)-√(-1+x)
- sqrt1+x-sqrt-1+x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1+x)-sqrt(-1-x)
- sqrt(1-x)-sqrt(-1+x)
- sqrt(1+x)+sqrt(-1+x)
- sqrt(1+x)-sqrt(1+x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2+2*x)-x
- sqrt(x+sqrt(x))/(x^2+x^(1/3))^(1/4)
- sqrt(x^2+4*x)-x
- sqrt(5+x)-sqrt(2+x)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(x^2-x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2+2*x)-x
- sqrt(x+sqrt(x))/(x^2+x^(1/3))^(1/4)
- sqrt(x^2+4*x)-x
- sqrt(5+x)-sqrt(2+x)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(x^2-x)
Límite de la función sqrt(1+x)-sqrt(-1+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ _______ ________\ lim \\/ 1 + x - \/ -1 + x / x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right)$$
Limit(sqrt(1 + x) - sqrt(-1 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right) \left(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right)}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x - 1}\right)^{2} + \left(\sqrt{x + 1}\right)^{2}}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - x\right) + \left(x + 1\right)}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(x):
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{x} \left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{x} \left(\sqrt{\frac{x - 1}{x}} + \sqrt{\frac{x + 1}{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{x} \left(\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{x} \left(\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2}{\left(\sqrt{1 - u} + \sqrt{u + 1}\right) \sqrt{\frac{1}{u}}}\right)$$ =
= $$\frac{2}{\tilde{\infty} \left(\sqrt{1} + \sqrt{1 - 0}\right)} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right) \left(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right)}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x - 1}\right)^{2} + \left(\sqrt{x + 1}\right)^{2}}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - x\right) + \left(x + 1\right)}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(x):
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{x} \left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{x} \left(\sqrt{\frac{x - 1}{x}} + \sqrt{\frac{x + 1}{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{x} \left(\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{x} \left(\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2}{\left(\sqrt{1 - u} + \sqrt{u + 1}\right) \sqrt{\frac{1}{u}}}\right)$$ =
= $$\frac{2}{\tilde{\infty} \left(\sqrt{1} + \sqrt{1 - 0}\right)} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right) = 1 - i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right) = 1 - i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right) = 1 - i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right) = 1 - i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico