Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x/(-2+x)
-
Límite de x^(-2)
-
Límite de (-4+x^2)/(6+x^2-5*x)
-
Límite de (2-sqrt(-3+x))/(-49+x^2)
- Gráfico de la función y =:
- sqrt(x+sqrt(x))/(x^2+x^(1/3))^(1/4)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x+sqrt(x))/(x^ dos +x^(uno / tres))^(uno / cuatro)
- raíz cuadrada de (x más raíz cuadrada de (x)) dividir por (x al cuadrado más x en el grado (1 dividir por 3)) en el grado (1 dividir por 4)
- raíz cuadrada de (x más raíz cuadrada de (x)) dividir por (x en el grado dos más x en el grado (uno dividir por tres)) en el grado (uno dividir por cuatro)
- √(x+√(x))/(x^2+x^(1/3))^(1/4)
- sqrt(x+sqrt(x))/(x2+x(1/3))(1/4)
- sqrtx+sqrtx/x2+x1/31/4
- sqrt(x+sqrt(x))/(x²+x^(1/3))^(1/4)
- sqrt(x+sqrt(x))/(x en el grado 2+x en el grado (1/3)) en el grado (1/4)
- sqrtx+sqrtx/x^2+x^1/3^1/4
- sqrt(x+sqrt(x)) dividir por (x^2+x^(1 dividir por 3))^(1 dividir por 4)
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x+sqrt(x))/(x^2-x^(1/3))^(1/4)
- sqrt(x-sqrt(x))/(x^2+x^(1/3))^(1/4)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2+2*x)-x
- sqrt(1+x)-sqrt(-1+x)
- sqrt(x^2+4*x)-x
- sqrt(5+x)-sqrt(2+x)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(x^2-x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2+2*x)-x
- sqrt(1+x)-sqrt(-1+x)
- sqrt(x^2+4*x)-x
- sqrt(5+x)-sqrt(2+x)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(x^2-x)
Límite de la función sqrt(x+sqrt(x))/(x^2+x^(1/3))^(1/4)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___________\
| / ___ |
| \/ x + \/ x |
lim |---------------|
x->oo| ____________|
|4 / 2 3 ___ |
\\/ x + \/ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\sqrt{x} + x}}{\sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}}}\right)$$
Limit(sqrt(x + sqrt(x))/(x^2 + x^(1/3))^(1/4), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\sqrt{x} + x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\sqrt{x} + x}}{\sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{\sqrt{x} + x}}{\frac{d}{d x} \sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4 \sqrt{x}}\right) \left(\sqrt[3]{x} + x^{2}\right)^{\frac{3}{4}}}{\sqrt{\sqrt{x} + x} \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{12 x^{\frac{2}{3}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt[3]{x} + x^{2}\right)^{\frac{3}{4}}}{2 \sqrt{\sqrt{x} + x} \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{12 x^{\frac{2}{3}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\left(\sqrt[3]{x} + x^{2}\right)^{\frac{3}{4}}}{2 \sqrt{\sqrt{x} + x}}}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{12 x^{\frac{2}{3}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{3 x}{4 \sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}} \sqrt{\sqrt{x} + x}} - \frac{\left(\sqrt[3]{x} + x^{2}\right)^{\frac{3}{4}}}{8 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sqrt{x} + x} + 8 x \sqrt{\sqrt{x} + x}} - \frac{\left(\sqrt[3]{x} + x^{2}\right)^{\frac{3}{4}}}{4 \left(\sqrt{x} \sqrt{\sqrt{x} + x} + x \sqrt{\sqrt{x} + x}\right)} + \frac{1}{8 x^{\frac{2}{3}} \sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}} \sqrt{\sqrt{x} + x}}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{18 x^{\frac{5}{3}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{3 x}{4 \sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}} \sqrt{\sqrt{x} + x}} - \frac{\left(\sqrt[3]{x} + x^{2}\right)^{\frac{3}{4}}}{8 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sqrt{x} + x} + 8 x \sqrt{\sqrt{x} + x}} - \frac{\left(\sqrt[3]{x} + x^{2}\right)^{\frac{3}{4}}}{4 \left(\sqrt{x} \sqrt{\sqrt{x} + x} + x \sqrt{\sqrt{x} + x}\right)} + \frac{1}{8 x^{\frac{2}{3}} \sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}} \sqrt{\sqrt{x} + x}}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{18 x^{\frac{5}{3}}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\sqrt{x} + x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\sqrt{x} + x}}{\sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{\sqrt{x} + x}}{\frac{d}{d x} \sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4 \sqrt{x}}\right) \left(\sqrt[3]{x} + x^{2}\right)^{\frac{3}{4}}}{\sqrt{\sqrt{x} + x} \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{12 x^{\frac{2}{3}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt[3]{x} + x^{2}\right)^{\frac{3}{4}}}{2 \sqrt{\sqrt{x} + x} \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{12 x^{\frac{2}{3}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\left(\sqrt[3]{x} + x^{2}\right)^{\frac{3}{4}}}{2 \sqrt{\sqrt{x} + x}}}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{12 x^{\frac{2}{3}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{3 x}{4 \sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}} \sqrt{\sqrt{x} + x}} - \frac{\left(\sqrt[3]{x} + x^{2}\right)^{\frac{3}{4}}}{8 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sqrt{x} + x} + 8 x \sqrt{\sqrt{x} + x}} - \frac{\left(\sqrt[3]{x} + x^{2}\right)^{\frac{3}{4}}}{4 \left(\sqrt{x} \sqrt{\sqrt{x} + x} + x \sqrt{\sqrt{x} + x}\right)} + \frac{1}{8 x^{\frac{2}{3}} \sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}} \sqrt{\sqrt{x} + x}}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{18 x^{\frac{5}{3}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{3 x}{4 \sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}} \sqrt{\sqrt{x} + x}} - \frac{\left(\sqrt[3]{x} + x^{2}\right)^{\frac{3}{4}}}{8 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sqrt{x} + x} + 8 x \sqrt{\sqrt{x} + x}} - \frac{\left(\sqrt[3]{x} + x^{2}\right)^{\frac{3}{4}}}{4 \left(\sqrt{x} \sqrt{\sqrt{x} + x} + x \sqrt{\sqrt{x} + x}\right)} + \frac{1}{8 x^{\frac{2}{3}} \sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}} \sqrt{\sqrt{x} + x}}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{18 x^{\frac{5}{3}}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\sqrt{x} + x}}{\sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{\sqrt{x} + x}}{\sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{\sqrt{x} + x}}{\sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{\sqrt{x} + x}}{\sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}}}\right) = \sqrt[4]{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{\sqrt{x} + x}}{\sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}}}\right) = \sqrt[4]{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\sqrt{x} + x}}{\sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}}}\right) = i$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{\sqrt{x} + x}}{\sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{\sqrt{x} + x}}{\sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{\sqrt{x} + x}}{\sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}}}\right) = \sqrt[4]{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{\sqrt{x} + x}}{\sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}}}\right) = \sqrt[4]{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\sqrt{x} + x}}{\sqrt[4]{\sqrt[3]{x} + x^{2}}}\right) = i$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico