Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x/(-2+x)
-
Límite de x^(-2)
-
Límite de (-4+x^2)/(6+x^2-5*x)
-
Límite de (2-sqrt(-3+x))/(-49+x^2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno +x+x^ dos)-sqrt(x^ dos -x)
- raíz cuadrada de (1 más x más x al cuadrado ) menos raíz cuadrada de (x al cuadrado menos x)
- raíz cuadrada de (uno más x más x en el grado dos) menos raíz cuadrada de (x en el grado dos menos x)
- √(1+x+x^2)-√(x^2-x)
- sqrt(1+x+x2)-sqrt(x2-x)
- sqrt1+x+x2-sqrtx2-x
- sqrt(1+x+x²)-sqrt(x²-x)
- sqrt(1+x+x en el grado 2)-sqrt(x en el grado 2-x)
- sqrt1+x+x^2-sqrtx^2-x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1+x+x^2)+sqrt(x^2-x)
- sqrt(1-x+x^2)-sqrt(x^2-x)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(x^2+x)
- sqrt(1+x-x^2)-sqrt(x^2-x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2+2*x)-x
- sqrt(1+x)-sqrt(-1+x)
- sqrt(x+sqrt(x))/(x^2+x^(1/3))^(1/4)
- sqrt(x^2+4*x)-x
- sqrt(5+x)-sqrt(2+x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2+2*x)-x
- sqrt(1+x)-sqrt(-1+x)
- sqrt(x+sqrt(x))/(x^2+x^(1/3))^(1/4)
- sqrt(x^2+4*x)-x
- sqrt(5+x)-sqrt(2+x)
Límite de la función sqrt(1+x+x^2)-sqrt(x^2-x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ____________ ________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ 1 + x + x - \/ x - x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
Limit(sqrt(1 + x + x^2) - sqrt(x^2 - x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) \left(\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} - x}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + x\right) + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2} - x}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2} - x}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u + 2}{\sqrt{1 - u} + \sqrt{u^{2} + u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{2}{\sqrt{1 - 0} + \sqrt{0^{2} + 1}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) \left(\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} - x}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + x\right) + \left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2} - x}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2} - x}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u + 2}{\sqrt{1 - u} + \sqrt{u^{2} + u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{2}{\sqrt{1 - 0} + \sqrt{0^{2} + 1}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico