Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x + \log{\left(x + 1 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{3 x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + \log{\left(x + 1 \right)}}{e^{3 x} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + \log{\left(x + 1 \right)}}{e^{3 x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + \log{\left(x + 1 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(e^{3 x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{x + 1}\right) e^{- 3 x}}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3 \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3 \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)