Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- log(dos *x)*log(- uno + dos *x)
- logaritmo de (2 multiplicar por x) multiplicar por logaritmo de ( menos 1 más 2 multiplicar por x)
- logaritmo de (dos multiplicar por x) multiplicar por logaritmo de ( menos uno más dos multiplicar por x)
- log(2x)log(-1+2x)
- log2xlog-1+2x
-
Expresiones semejantes
- log(2*x)*log(1+2*x)
- log(2*x)*log(-1-2*x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(cos(5*x))/log(cos(4*x))
- log(1+x^2-x)
- log(-3+x^2)/(2+x^2-3*x)
- log(x)/(1+2*log(x)*sin(x))
- log(cos(5*x))/log(cos(3*x))
- Logaritmo log
- log(cos(5*x))/log(cos(4*x))
- log(1+x^2-x)
- log(-3+x^2)/(2+x^2-3*x)
- log(x)/(1+2*log(x)*sin(x))
- log(cos(5*x))/log(cos(3*x))
Límite de la función log(2*x)*log(-1+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
lim (log(2*x)*log(-1 + 2*x)) x->1/2+
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right)$$
Limit(log(2*x)*log(-1 + 2*x), x, 1/2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} \log{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} \frac{1}{\log{\left(2 x - 1 \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(2 x - 1 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(- \frac{\left(2 x - 1\right) \log{\left(2 x - 1 \right)}^{2}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{2 x - 1}{2 x}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(2 x - 1 \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(- \frac{\left(- \frac{1}{x} + \frac{2 x - 1}{2 x^{2}}\right) \left(2 x - 1\right) \log{\left(2 x - 1 \right)}^{3}}{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{\left(2 x - 1\right) \log{\left(2 x - 1 \right)}^{3}}{4}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \frac{1}{x} + \frac{2 x - 1}{2 x^{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{\left(- \frac{1}{x} + \frac{2 x - 1}{2 x^{2}}\right)^{2} \left(- \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}^{3}}{2} - \frac{3 \log{\left(2 x - 1 \right)}^{2}}{2}\right)}{- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2 x - 1}{x^{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}^{3}}{4} + \frac{3 \log{\left(2 x - 1 \right)}^{2}}{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}^{3}}{4} + \frac{3 \log{\left(2 x - 1 \right)}^{2}}{4}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} \log{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} \frac{1}{\log{\left(2 x - 1 \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(2 x - 1 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(- \frac{\left(2 x - 1\right) \log{\left(2 x - 1 \right)}^{2}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{2 x - 1}{2 x}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(2 x - 1 \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(- \frac{\left(- \frac{1}{x} + \frac{2 x - 1}{2 x^{2}}\right) \left(2 x - 1\right) \log{\left(2 x - 1 \right)}^{3}}{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{\left(2 x - 1\right) \log{\left(2 x - 1 \right)}^{3}}{4}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \frac{1}{x} + \frac{2 x - 1}{2 x^{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{\left(- \frac{1}{x} + \frac{2 x - 1}{2 x^{2}}\right)^{2} \left(- \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}^{3}}{2} - \frac{3 \log{\left(2 x - 1 \right)}^{2}}{2}\right)}{- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2 x - 1}{x^{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}^{3}}{4} + \frac{3 \log{\left(2 x - 1 \right)}^{2}}{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}^{3}}{4} + \frac{3 \log{\left(2 x - 1 \right)}^{2}}{4}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^-}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1/2 a la izquierda
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right) = - \infty i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right) = - \infty i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→1/2 a la izquierda
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right) = - \infty i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right) = - \infty i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
lim (log(2*x)*log(-1 + 2*x)) x->1/2+
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right)$$
0
$$0$$
= -0.00315612534445693
lim (log(2*x)*log(-1 + 2*x)) x->1/2-
$$\lim_{x \to \frac{1}{2}^-}\left(\log{\left(2 x \right)} \log{\left(2 x - 1 \right)}\right)$$
0
$$0$$
= (0.000515070744372563 + 1.00253195903717e-44j)
= (0.000515070744372563 + 1.00253195903717e-44j)
Gráfico