Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-27+x^3)/(-3+x)
-
Límite de (-6+x+x^2)/(-2+x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(20+x^2-12*x)
-
Límite de tan(5*x)/x
-
Expresiones idénticas
- (- uno +x^ dos)/(- uno +sqrt(x))
- ( menos 1 más x al cuadrado ) dividir por ( menos 1 más raíz cuadrada de (x))
- ( menos uno más x en el grado dos) dividir por ( menos uno más raíz cuadrada de (x))
- (-1+x^2)/(-1+√(x))
- (-1+x2)/(-1+sqrt(x))
- -1+x2/-1+sqrtx
- (-1+x²)/(-1+sqrt(x))
- (-1+x en el grado 2)/(-1+sqrt(x))
- -1+x^2/-1+sqrtx
- (-1+x^2) dividir por (-1+sqrt(x))
-
Expresiones semejantes
- (-1+x^2)/(-1-sqrt(x))
- (-1-x^2)/(-1+sqrt(x))
- (-1+x^2)/(1+sqrt(x))
- (1+x^2)/(-1+sqrt(x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1+x)-sqrt(x)
- sqrt(1+3*x)-sqrt(2+x)
- sqrt(a+x)-sqrt(x)
- sqrt(tan(x))/x
- sqrt(x+x^2)-sqrt(x^2-x)
Límite de la función (-1+x^2)/(-1+sqrt(x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| -1 + x |
lim |----------|
x->1+| ___|
\-1 + \/ x /
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right)$$
Limit((-1 + x^2)/(-1 + sqrt(x)), x, 1)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- \sqrt{x} - 1$$
obtendremos
$$\frac{\left(- \sqrt{x} - 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(- \sqrt{x} - 1\right) \left(\sqrt{x} - 1\right)}$$
=
$$\frac{\left(- \sqrt{x} - 1\right) \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}{1 - x}$$
=
$$\left(\sqrt{x} + 1\right) \left(x + 1\right)$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(\sqrt{x} + 1\right) \left(x + 1\right)\right)$$
=
$$4$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- \sqrt{x} - 1$$
obtendremos
$$\frac{\left(- \sqrt{x} - 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(- \sqrt{x} - 1\right) \left(\sqrt{x} - 1\right)}$$
=
$$\frac{\left(- \sqrt{x} - 1\right) \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}{1 - x}$$
=
$$\left(\sqrt{x} + 1\right) \left(x + 1\right)$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(\sqrt{x} + 1\right) \left(x + 1\right)\right)$$
=
$$4$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(4 x^{\frac{3}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+} 4$$
=
$$\lim_{x \to 1^+} 4$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(4 x^{\frac{3}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+} 4$$
=
$$\lim_{x \to 1^+} 4$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| -1 + x |
lim |----------|
x->1+| ___|
\-1 + \/ x /
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right)$$
4
$$4$$
= 4.0
/ 2 \
| -1 + x |
lim |----------|
x->1-| ___|
\-1 + \/ x /
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right)$$
4
$$4$$
= 4.0
= 4.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right) = 4$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right) = - \infty i$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\right) = - \infty i$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico