Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(83 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(16 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(83 x \right)}}{16 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(83 x \right)}}{16 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(83 x \right)}}{\frac{d}{d x} 16 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{83 \cos{\left(83 x \right)}}{16}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{83}{16}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{83}{16}$$
=
$$\frac{83}{16}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)