Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2 \pi^+} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2 \pi^+} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2 \pi^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2 \pi^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2 \pi^+}\left(- \frac{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4 \left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2 \pi^+}\left(- \frac{1}{4 \left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2 \pi^+}\left(- \frac{1}{4 \left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)