Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- (sqrt(x)-sqrt(tres))/(- nueve +x^ dos)
- ( raíz cuadrada de (x) menos raíz cuadrada de (3)) dividir por ( menos 9 más x al cuadrado )
- ( raíz cuadrada de (x) menos raíz cuadrada de (tres)) dividir por ( menos nueve más x en el grado dos)
- (√(x)-√(3))/(-9+x^2)
- (sqrt(x)-sqrt(3))/(-9+x2)
- sqrtx-sqrt3/-9+x2
- (sqrt(x)-sqrt(3))/(-9+x²)
- (sqrt(x)-sqrt(3))/(-9+x en el grado 2)
- sqrtx-sqrt3/-9+x^2
- (sqrt(x)-sqrt(3)) dividir por (-9+x^2)
-
Expresiones semejantes
- (sqrt(x)-sqrt(3))/(-9-x^2)
- (sqrt(x)+sqrt(3))/(-9+x^2)
- (sqrt(x)-sqrt(3))/(9+x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*(sqrt(2+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(1+tan(x))-sqrt(1+sin(x))/x^3
- sqrt(x^2-3*x)-x
- sqrt(1+x^2)/x
- sqrt(7)*(sqrt(7-x)-sqrt(7+x))/(7*x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*(sqrt(2+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(1+tan(x))-sqrt(1+sin(x))/x^3
- sqrt(x^2-3*x)-x
- sqrt(1+x^2)/x
- sqrt(7)*(sqrt(7-x)-sqrt(7+x))/(7*x)
Límite de la función (sqrt(x)-sqrt(3))/(-9+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___ ___\
|\/ x - \/ 3 |
lim |-------------|
x->3+| 2 |
\ -9 + x /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right)$$
Limit((sqrt(x) - sqrt(3))/(-9 + x^2), x, 3)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x} + \sqrt{3}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9} \left(\sqrt{x} + \sqrt{3}\right)}{\sqrt{x} + \sqrt{3}}$$
=
$$\frac{1}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{3}\right) \left(x + 3\right)}$$
=
$$\frac{1}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{3}\right) \left(x + 3\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{1}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{3}\right) \left(x + 3\right)}\right)$$
=
$$\frac{\sqrt{3}}{36}$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x} + \sqrt{3}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9} \left(\sqrt{x} + \sqrt{3}\right)}{\sqrt{x} + \sqrt{3}}$$
=
$$\frac{1}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{3}\right) \left(x + 3\right)}$$
=
$$\frac{1}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{3}\right) \left(x + 3\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{1}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{3}\right) \left(x + 3\right)}\right)$$
=
$$\frac{\sqrt{3}}{36}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\sqrt{x} - \sqrt{3}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{2} - 9\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} - \sqrt{3}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{3}}{36}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{3}}{36}\right)$$
=
$$\frac{\sqrt{3}}{36}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\sqrt{x} - \sqrt{3}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{2} - 9\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} - \sqrt{3}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{3}}{36}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{3}}{36}\right)$$
=
$$\frac{\sqrt{3}}{36}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right) = \frac{\sqrt{3}}{36}$$
Más detalles con x→3 a la izquierda
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right) = \frac{\sqrt{3}}{36}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right) = \frac{\sqrt{3}}{9}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right) = \frac{\sqrt{3}}{9}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right) = - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3}}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right) = - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3}}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→3 a la izquierda
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right) = \frac{\sqrt{3}}{36}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right) = \frac{\sqrt{3}}{9}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right) = \frac{\sqrt{3}}{9}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right) = - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3}}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right) = - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3}}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ ___ ___\
|\/ x - \/ 3 |
lim |-------------|
x->3+| 2 |
\ -9 + x /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right)$$
___ \/ 3 ----- 36
$$\frac{\sqrt{3}}{36}$$
= 0.0481125224324688
/ ___ ___\
|\/ x - \/ 3 |
lim |-------------|
x->3-| 2 |
\ -9 + x /
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x^{2} - 9}\right)$$
___ \/ 3 ----- 36
$$\frac{\sqrt{3}}{36}$$
= 0.0481125224324688
= 0.0481125224324688
Gráfico