Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (1-7/x)^x
-
Límite de (1-cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x))/(1-cos(x))
-
Límite de (x-x^3+5*x^2)/(-x^2+2*x^3+7*x)
-
Expresiones idénticas
- (- tres +sqrt(nueve +x))/(seis *x)
- ( menos 3 más raíz cuadrada de (9 más x)) dividir por (6 multiplicar por x)
- ( menos tres más raíz cuadrada de (nueve más x)) dividir por (seis multiplicar por x)
- (-3+√(9+x))/(6*x)
- (-3+sqrt(9+x))/(6x)
- -3+sqrt9+x/6x
- (-3+sqrt(9+x)) dividir por (6*x)
-
Expresiones semejantes
- (-3-sqrt(9+x))/(6*x)
- (3+sqrt(9+x))/(6*x)
- (-3+sqrt(9-x))/(6*x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((2+x)*(3+x))-x
- sqrt(-1-2*x+4*x^2)-sqrt(-8-3*x+4*x^2)
- sqrt(-6+3*x)*(-sqrt(-8+3*x)+2*sqrt(-1+x))
- sqrt(x)+(x^2-x)^(1/3)
- sqrt(-9+x^2)-sqrt(-3+x^2+5*x)
Límite de la función (-3+sqrt(9+x))/(6*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ _______\
|-3 + \/ 9 + x |
lim |--------------|
x->0+\ 6*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right)$$
Limit((-3 + sqrt(9 + x))/((6*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\frac{\sqrt{x + 9}}{6} + \frac{1}{2}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x} \left(\frac{\sqrt{x + 9}}{6} + \frac{1}{2}\right)}{\frac{\sqrt{x + 9}}{6} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\frac{1}{36 \left(\frac{\sqrt{x + 9}}{6} + \frac{1}{2}\right)}$$
=
$$\frac{1}{36 \left(\frac{\sqrt{x + 9}}{6} + \frac{1}{2}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{36 \left(\frac{\sqrt{x + 9}}{6} + \frac{1}{2}\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{36}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\frac{\sqrt{x + 9}}{6} + \frac{1}{2}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x} \left(\frac{\sqrt{x + 9}}{6} + \frac{1}{2}\right)}{\frac{\sqrt{x + 9}}{6} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\frac{1}{36 \left(\frac{\sqrt{x + 9}}{6} + \frac{1}{2}\right)}$$
=
$$\frac{1}{36 \left(\frac{\sqrt{x + 9}}{6} + \frac{1}{2}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{36 \left(\frac{\sqrt{x + 9}}{6} + \frac{1}{2}\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{36}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 9} - 3\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 9} - 3\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{12 \sqrt{x + 9}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{36}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{36}$$
=
$$\frac{1}{36}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 9} - 3\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 9} - 3\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{12 \sqrt{x + 9}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{36}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{36}$$
=
$$\frac{1}{36}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right) = \frac{1}{36}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right) = \frac{1}{36}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right) = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{10}}{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right) = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{10}}{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right) = \frac{1}{36}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right) = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{10}}{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right) = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{10}}{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ _______\
|-3 + \/ 9 + x |
lim |--------------|
x->0+\ 6*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right)$$
1/36
$$\frac{1}{36}$$
= 0.0277777777777778
/ _______\
|-3 + \/ 9 + x |
lim |--------------|
x->0-\ 6*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{6 x}\right)$$
1/36
$$\frac{1}{36}$$
= 0.0277777777777778
= 0.0277777777777778