Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- x/sqrt(x+x^ dos)
- x dividir por raíz cuadrada de (x más x al cuadrado )
- x dividir por raíz cuadrada de (x más x en el grado dos)
- x/√(x+x^2)
- x/sqrt(x+x2)
- x/sqrtx+x2
- x/sqrt(x+x²)
- x/sqrt(x+x en el grado 2)
- x/sqrtx+x^2
- x dividir por sqrt(x+x^2)
-
Expresiones semejantes
- x/sqrt(x-x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((a+x)*(b+x))-x
- sqrt(-1+x+x^2)-sqrt(1+x^2-x)
- sqrt(3+x^2+2*x)-x
- sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))/sqrt(1+x)
- sqrt(x)-log(x)
Límite de la función x/sqrt(x+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ x \
lim |-----------|
x->oo| ________|
| / 2 |
\\/ x + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
Limit(x/sqrt(x + x^2), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x \left(x + 1\right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \sqrt{x \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{\sqrt{x \left(x + 1\right)} \left(x + \frac{1}{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x \left(x + 1\right)}{x + \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} \sqrt{x \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x^{2} + x + \frac{1}{4}} - \frac{x}{x^{2} + x + \frac{1}{4}} + \frac{2 x}{x + \frac{1}{2}} + \frac{1}{x + \frac{1}{2}}}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x^{2} + x + \frac{1}{4}} - \frac{x}{x^{2} + x + \frac{1}{4}} + \frac{2 x}{x + \frac{1}{2}} + \frac{1}{x + \frac{1}{2}}}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x \left(x + 1\right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \sqrt{x \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{\sqrt{x \left(x + 1\right)} \left(x + \frac{1}{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x \left(x + 1\right)}{x + \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} \sqrt{x \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x^{2} + x + \frac{1}{4}} - \frac{x}{x^{2} + x + \frac{1}{4}} + \frac{2 x}{x + \frac{1}{2}} + \frac{1}{x + \frac{1}{2}}}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{2}}{x^{2} + x + \frac{1}{4}} - \frac{x}{x^{2} + x + \frac{1}{4}} + \frac{2 x}{x + \frac{1}{2}} + \frac{1}{x + \frac{1}{2}}}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x}}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico