Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2+x^2+x^4-x^3-3*x)/(1+x^3-x-x^2)
-
Límite de (e^(5*x)-e^x)/(x^3+asin(x))
-
Límite de ((3-x)^4-(2-x)^4)/((1-x)^4-(1+x)^4)
-
Límite de (5-x^2+2*x^3+3*x^4+5*x)/(1+x^3)
-
Expresiones idénticas
- ((tres +x)/(- uno +x))^(sqrt(- cuatro +x))
- ((3 más x) dividir por ( menos 1 más x)) en el grado ( raíz cuadrada de ( menos 4 más x))
- ((tres más x) dividir por ( menos uno más x)) en el grado ( raíz cuadrada de ( menos cuatro más x))
- ((3+x)/(-1+x))^(√(-4+x))
- ((3+x)/(-1+x))(sqrt(-4+x))
- 3+x/-1+xsqrt-4+x
- 3+x/-1+x^sqrt-4+x
- ((3+x) dividir por (-1+x))^(sqrt(-4+x))
-
Expresiones semejantes
- ((3+x)/(1+x))^(sqrt(-4+x))
- ((3+x)/(-1+x))^(sqrt(-4-x))
- ((3+x)/(-1+x))^(sqrt(4+x))
- ((3+x)/(-1-x))^(sqrt(-4+x))
- ((3-x)/(-1+x))^(sqrt(-4+x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(sqrt(2)+x^2)-sqrt(x^2-4*x)
- sqrt(4+3*n^2)-sqrt(5-n+3*n^2)
- sqrt(74)*(5+x)/222
- sqrt(7+x^2+4*x)-sqrt(1+x^2-5*x)
- sqrt(-3+x^2-x)
Límite de la función ((3+x)/(-1+x))^(sqrt(-4+x))
Solución
Ha introducido
[src]
________
\/ -4 + x
/3 + x \
lim |------|
x->oo\-1 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}}$$
Limit(((3 + x)/(-1 + x))^(sqrt(-4 + x)), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 1\right) + 4}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{4}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 1}{4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt{4 u - 3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt{3} i} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\sqrt{4 u - 3} - \sqrt{3} i}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt{3} i} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt{4 u - 3} - \sqrt{3} i}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt{4 u - 3} - \sqrt{3} i}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\sqrt{4 u - 3} - \sqrt{3} i}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\sqrt{4 u - 3} - \sqrt{3} i}{u}} = e^{\frac{\sqrt{4 u - 3} - \sqrt{3} i}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}} = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 1\right) + 4}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{4}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 1}{4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt{4 u - 3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt{3} i} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\sqrt{4 u - 3} - \sqrt{3} i}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt{3} i} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt{4 u - 3} - \sqrt{3} i}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt{4 u - 3} - \sqrt{3} i}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\sqrt{4 u - 3} - \sqrt{3} i}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\sqrt{4 u - 3} - \sqrt{3} i}{u}} = e^{\frac{\sqrt{4 u - 3} - \sqrt{3} i}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}} = 1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}} = e^{- 2 \pi + 2 i \log{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}} = e^{- 2 \pi + 2 i \log{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}} = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}} = e^{- 2 \pi + 2 i \log{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}} = e^{- 2 \pi + 2 i \log{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\sqrt{x - 4}} = 1$$
Más detalles con x→-oo