Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x\right)! \left(x + 1\right)!^{2}}{x!}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(2 \left(x + 1\right)\right)! = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x\right)! \left(x + 1\right)!^{2}}{x! \left(2 x + 2\right)!}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x\right)! \left(x + 1\right)!^{2}}{x! \left(2 \left(x + 1\right)\right)!}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\left(2 x\right)! \left(x + 1\right)!^{2}}{x!}}{\frac{d}{d x} \left(2 \left(x + 1\right)\right)!}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2 \left(2 x\right)! \left(x + 1\right)! \Gamma\left(x + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 2 \right)}}{x!} + \frac{2 \left(x + 1\right)!^{2} \Gamma\left(2 x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,2 x + 1 \right)}}{x!} - \frac{\left(2 x\right)! \left(x + 1\right)!^{2} \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x!^{2}}}{2 \Gamma\left(2 x + 3\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,2 x + 3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2 \left(2 x\right)! \left(x + 1\right)! \Gamma\left(x + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 2 \right)}}{x!} + \frac{2 \left(x + 1\right)!^{2} \Gamma\left(2 x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,2 x + 1 \right)}}{x!} - \frac{\left(2 x\right)! \left(x + 1\right)!^{2} \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x!^{2}}}{2 \Gamma\left(2 x + 3\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,2 x + 3 \right)}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)