Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2^{- x} \left(1 - 2^{x}\right)\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(3 x + 1 \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{-1 + 2^{- x}}{\log{\left(3 x + 1 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2^{- x} \left(1 - 2^{x}\right)}{\log{\left(3 x + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2^{- x} \left(1 - 2^{x}\right)}{\frac{d}{d x} \log{\left(3 x + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(x + \frac{1}{3}\right) \left(- \log{\left(2 \right)} - 2^{- x} \left(1 - 2^{x}\right) \log{\left(2 \right)}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2^{- x} \log{\left(2 \right)}}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2^{- x} \log{\left(2 \right)}}{3}\right)$$
=
$$- \frac{\log{\left(2 \right)}}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)