Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(3 x + \sqrt{3} \sqrt{2 x^{2} + 1}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x + 1}{3 x + \sqrt{6 x^{2} + 3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x + 1}{3 x + \sqrt{3} \sqrt{2 x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x + \sqrt{3} \sqrt{2 x^{2} + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+} \frac{1}{\frac{2 \sqrt{3} x}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} + 3}$$
=
$$\lim_{x \to -1^+} \frac{1}{\frac{2 \sqrt{3} x}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} + 3}$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)