Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de x^(1/(-1+x))
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Expresiones idénticas
- (- uno +sqrt(uno +x^ dos))/x
- ( menos 1 más raíz cuadrada de (1 más x al cuadrado )) dividir por x
- ( menos uno más raíz cuadrada de (uno más x en el grado dos)) dividir por x
- (-1+√(1+x^2))/x
- (-1+sqrt(1+x2))/x
- -1+sqrt1+x2/x
- (-1+sqrt(1+x²))/x
- (-1+sqrt(1+x en el grado 2))/x
- -1+sqrt1+x^2/x
- (-1+sqrt(1+x^2)) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- (1+sqrt(1+x^2))/x
- (-1-sqrt(1+x^2))/x
- (-1+sqrt(1-x^2))/x
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x+x^2)-x
- sqrt(x^2-x)-x
- sqrt(1+x)/sqrt(x)
- sqrt(1+x)
- sqrt(3)
Límite de la función (-1+sqrt(1+x^2))/x
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________\
| / 2 |
|-1 + \/ 1 + x |
lim |----------------|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right)$$
Limit((-1 + sqrt(1 + x^2))/x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x^{2} + 1} + 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x} \left(\sqrt{x^{2} + 1} + 1\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}$$
=
$$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}$$
=
$$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}\right)$$
=
$$0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x^{2} + 1} + 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x} \left(\sqrt{x^{2} + 1} + 1\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}$$
=
$$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}$$
=
$$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}\right)$$
=
$$0$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ ________\
| / 2 |
|-1 + \/ 1 + x |
lim |----------------|
x->0+\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right)$$
0
$$0$$
= -2.32768946714054e-33
/ ________\
| / 2 |
|-1 + \/ 1 + x |
lim |----------------|
x->0-\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\right)$$
0
$$0$$
= 2.32768946714054e-33
= 2.32768946714054e-33
Gráfico