Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (7^(2*x)-5^(3*x))/(-atan(3*x)+2*x)
-
Límite de (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Límite de (1-cos(2*x))/(-cos(3*x)+cos(7*x))
-
Límite de 1+1/x
-
Expresiones idénticas
- n^(- dos)+n*(tres + uno /n)*sin(uno /n)
- n en el grado ( menos 2) más n multiplicar por (3 más 1 dividir por n) multiplicar por seno de (1 dividir por n)
- n en el grado ( menos dos) más n multiplicar por (tres más uno dividir por n) multiplicar por seno de (uno dividir por n)
- n(-2)+n*(3+1/n)*sin(1/n)
- n-2+n*3+1/n*sin1/n
- n^(-2)+n(3+1/n)sin(1/n)
- n(-2)+n(3+1/n)sin(1/n)
- n-2+n3+1/nsin1/n
- n^-2+n3+1/nsin1/n
- n^(-2)+n*(3+1 dividir por n)*sin(1 dividir por n)
-
Expresiones semejantes
- n^(-2)+n*(3-1/n)*sin(1/n)
- n^(-2)-n*(3+1/n)*sin(1/n)
- n^(2)+n*(3+1/n)*sin(1/n)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(1)/x
- sin(7*x)/(5*x)
- sin(x)^(x^2)
- sin(x)/(-sin(7*x)+sin(6*x))
- sin(-1+x)/(-1+x^2)
Límite de la función n^(-2)+n*(3+1/n)*sin(1/n)
Solución
Ha introducido
[src]
/1 / 1\ /1\\
lim |-- + n*|3 + -|*sin|-||
n->oo| 2 \ n/ \n/|
\n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(3 + \frac{1}{n}\right) \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + \frac{1}{n^{2}}\right)$$
Limit(n^(-2) + (n*(3 + 1/n))*sin(1/n), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(3 n^{3} \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + n^{2} \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(3 + \frac{1}{n}\right) \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + \frac{1}{n^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2} \left(3 n + 1\right) \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + 1}{n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(3 n^{3} \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + n^{2} \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + 1\right)}{\frac{d}{d n} n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{9 n^{2} \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + 2 n \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} - 3 n \cos{\left(\frac{1}{n} \right)} - \cos{\left(\frac{1}{n} \right)}}{2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(9 n^{2} \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + 2 n \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} - 3 n \cos{\left(\frac{1}{n} \right)} - \cos{\left(\frac{1}{n} \right)}\right)}{\frac{d}{d n} 2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(9 n \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} - 6 \cos{\left(\frac{1}{n} \right)} - \frac{3 \sin{\left(\frac{1}{n} \right)}}{2 n} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{n} \right)}}{n} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{n} \right)}}{2 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(9 n \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} - 6 \cos{\left(\frac{1}{n} \right)} - \frac{3 \sin{\left(\frac{1}{n} \right)}}{2 n} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{n} \right)}}{n} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{n} \right)}}{2 n^{2}}\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(3 n^{3} \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + n^{2} \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(3 + \frac{1}{n}\right) \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + \frac{1}{n^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2} \left(3 n + 1\right) \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + 1}{n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(3 n^{3} \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + n^{2} \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + 1\right)}{\frac{d}{d n} n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{9 n^{2} \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + 2 n \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} - 3 n \cos{\left(\frac{1}{n} \right)} - \cos{\left(\frac{1}{n} \right)}}{2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(9 n^{2} \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + 2 n \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} - 3 n \cos{\left(\frac{1}{n} \right)} - \cos{\left(\frac{1}{n} \right)}\right)}{\frac{d}{d n} 2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(9 n \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} - 6 \cos{\left(\frac{1}{n} \right)} - \frac{3 \sin{\left(\frac{1}{n} \right)}}{2 n} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{n} \right)}}{n} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{n} \right)}}{2 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(9 n \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} - 6 \cos{\left(\frac{1}{n} \right)} - \frac{3 \sin{\left(\frac{1}{n} \right)}}{2 n} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{n} \right)}}{n} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{n} \right)}}{2 n^{2}}\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(3 + \frac{1}{n}\right) \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + \frac{1}{n^{2}}\right) = 3$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(n \left(3 + \frac{1}{n}\right) \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + \frac{1}{n^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(n \left(3 + \frac{1}{n}\right) \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + \frac{1}{n^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(n \left(3 + \frac{1}{n}\right) \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + \frac{1}{n^{2}}\right) = 1 + 4 \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(n \left(3 + \frac{1}{n}\right) \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + \frac{1}{n^{2}}\right) = 1 + 4 \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(n \left(3 + \frac{1}{n}\right) \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + \frac{1}{n^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(n \left(3 + \frac{1}{n}\right) \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + \frac{1}{n^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(n \left(3 + \frac{1}{n}\right) \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + \frac{1}{n^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(n \left(3 + \frac{1}{n}\right) \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + \frac{1}{n^{2}}\right) = 1 + 4 \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(n \left(3 + \frac{1}{n}\right) \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + \frac{1}{n^{2}}\right) = 1 + 4 \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(n \left(3 + \frac{1}{n}\right) \sin{\left(\frac{1}{n} \right)} + \frac{1}{n^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con n→-oo