Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de ((4+3*x)/(-2+3*x))^(-7+5*x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(dos -x)-sqrt(cuatro +x)
- raíz cuadrada de (2 menos x) menos raíz cuadrada de (4 más x)
- raíz cuadrada de (dos menos x) menos raíz cuadrada de (cuatro más x)
- √(2-x)-√(4+x)
- sqrt2-x-sqrt4+x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(2-x)+sqrt(4+x)
- sqrt(2-x)-sqrt(4-x)
- sqrt(2+x)-sqrt(4+x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-1+x^2)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(x))
- sqrt(n^2+2*n)-n
- sqrt(n)*(1+(1+n)^2)/(sqrt(1+n)*(1+n^2))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-1+x^2)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(x))
- sqrt(n^2+2*n)-n
- sqrt(n)*(1+(1+n)^2)/(sqrt(1+n)*(1+n^2))
Límite de la función sqrt(2-x)-sqrt(4+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ _______ _______\ lim \\/ 2 - x - \/ 4 + x / x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right)$$
Limit(sqrt(2 - x) - sqrt(4 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{2 - x} + \sqrt{x + 4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right) \left(\sqrt{2 - x} + \sqrt{x + 4}\right)}{\sqrt{2 - x} + \sqrt{x + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{2 - x}\right)^{2} - \left(\sqrt{x + 4}\right)^{2}}{\sqrt{2 - x} + \sqrt{x + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 - x\right) + \left(- x - 4\right)}{\sqrt{2 - x} + \sqrt{x + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x - 2}{\sqrt{2 - x} + \sqrt{x + 4}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(x):
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 \sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{2 - x}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x + 4}}{\sqrt{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 \sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\sqrt{\frac{2 - x}{x}} + \sqrt{\frac{x + 4}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 \sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\sqrt{-1 + \frac{2}{x}} + \sqrt{1 + \frac{4}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 \sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\sqrt{-1 + \frac{2}{x}} + \sqrt{1 + \frac{4}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 2 \sqrt{\frac{1}{u}} - \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{u}}}}{\sqrt{2 u - 1} + \sqrt{4 u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{- 2 \sqrt{\frac{1}{0}} - \frac{2}{\tilde{\infty}}}{\sqrt{0 \cdot 4 + 1} + \sqrt{-1 + 0 \cdot 2}} = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{2 - x} + \sqrt{x + 4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right) \left(\sqrt{2 - x} + \sqrt{x + 4}\right)}{\sqrt{2 - x} + \sqrt{x + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{2 - x}\right)^{2} - \left(\sqrt{x + 4}\right)^{2}}{\sqrt{2 - x} + \sqrt{x + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 - x\right) + \left(- x - 4\right)}{\sqrt{2 - x} + \sqrt{x + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x - 2}{\sqrt{2 - x} + \sqrt{x + 4}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(x):
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 \sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{2 - x}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x + 4}}{\sqrt{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 \sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\sqrt{\frac{2 - x}{x}} + \sqrt{\frac{x + 4}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 \sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\sqrt{-1 + \frac{2}{x}} + \sqrt{1 + \frac{4}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 \sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\sqrt{-1 + \frac{2}{x}} + \sqrt{1 + \frac{4}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 2 \sqrt{\frac{1}{u}} - \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{u}}}}{\sqrt{2 u - 1} + \sqrt{4 u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{- 2 \sqrt{\frac{1}{0}} - \frac{2}{\tilde{\infty}}}{\sqrt{0 \cdot 4 + 1} + \sqrt{-1 + 0 \cdot 2}} = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right) = -2 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right) = -2 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right) = 1 - \sqrt{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right) = 1 - \sqrt{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right) = -2 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right) = -2 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right) = 1 - \sqrt{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right) = 1 - \sqrt{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{2 - x} - \sqrt{x + 4}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
Más detalles con x→-oo