Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-7*x+3*x^2)/(2-5*x+2*x^2)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (1+x)*(-1+x^3-2*x)/(-5+x^4+4*x^2)
-
Expresiones idénticas
- x*log(- uno +e^x)/sin(dos *x)
- x multiplicar por logaritmo de ( menos 1 más e en el grado x) dividir por seno de (2 multiplicar por x)
- x multiplicar por logaritmo de ( menos uno más e en el grado x) dividir por seno de (dos multiplicar por x)
- x*log(-1+ex)/sin(2*x)
- x*log-1+ex/sin2*x
- xlog(-1+e^x)/sin(2x)
- xlog(-1+ex)/sin(2x)
- xlog-1+ex/sin2x
- xlog-1+e^x/sin2x
- x*log(-1+e^x) dividir por sin(2*x)
-
Expresiones semejantes
- x*log(-1-e^x)/sin(2*x)
- x*log(1+e^x)/sin(2*x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(cos(3*x))/log(cos(4*x))
- log(tan(x+pi/4))/sin(3*x)
- log(-cos(x)+sin(x))
- log(2+sqrt(atan(x)*sin(1/x)))
- log(1+sin(2*x))/sin(3*x)
- Seno sin
- sin(x)/log(1+2*x)
- sin(x)^2/(2*x^2)
- sin(-1+x^2)/(-1+x)
- sin(5)^2/3
- sin(3*x)^2/(-1+sqrt(1-3*x^2))
Límite de la función x*log(-1+e^x)/sin(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ / x\\
|x*log\-1 + E /|
lim |--------------|
x->0+\ sin(2*x) /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
Limit((x*log(-1 + E^x))/sin(2*x), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x e^{x}}{e^{x} - 1} + \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x e^{x}}{2 \left(e^{x} - 1\right)} + \frac{\log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x e^{x}}{2 \left(e^{x} - 1\right)} + \frac{\log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{2}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x e^{x}}{e^{x} - 1} + \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{2 \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x e^{x}}{2 \left(e^{x} - 1\right)} + \frac{\log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x e^{x}}{2 \left(e^{x} - 1\right)} + \frac{\log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{2}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / x\\
|x*log\-1 + E /|
lim |--------------|
x->0+\ sin(2*x) /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
-oo
$$-\infty$$
= -4.45008106147291
/ / x\\
|x*log\-1 + E /|
lim |--------------|
x->0-\ sin(2*x) /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
-oo
$$-\infty$$
= (-4.4301800307086 + 1.57215593397669j)
= (-4.4301800307086 + 1.57215593397669j)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right) = \frac{\log{\left(-1 + e \right)}}{\sin{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right) = \frac{\log{\left(-1 + e \right)}}{\sin{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right) = \frac{\log{\left(-1 + e \right)}}{\sin{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right) = \frac{\log{\left(-1 + e \right)}}{\sin{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo