Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- x/(sqrt(cinco -x)-sqrt(cinco +x))
- x dividir por ( raíz cuadrada de (5 menos x) menos raíz cuadrada de (5 más x))
- x dividir por ( raíz cuadrada de (cinco menos x) menos raíz cuadrada de (cinco más x))
- x/(√(5-x)-√(5+x))
- x/sqrt5-x-sqrt5+x
- x dividir por (sqrt(5-x)-sqrt(5+x))
-
Expresiones semejantes
- x/(sqrt(5-x)+sqrt(5+x))
- x/(sqrt(5+x)-sqrt(5+x))
- x/(sqrt(5-x)-sqrt(5-x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*(sqrt(2+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(1+tan(x))-sqrt(1+sin(x))/x^3
- sqrt(x^2-3*x)-x
- sqrt(1+x^2)/x
- sqrt(8+x^3)*(sqrt(2+x^3)-sqrt(-1+x^3))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*(sqrt(2+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(1+tan(x))-sqrt(1+sin(x))/x^3
- sqrt(x^2-3*x)-x
- sqrt(1+x^2)/x
- sqrt(8+x^3)*(sqrt(2+x^3)-sqrt(-1+x^3))
Límite de la función x/(sqrt(5-x)-sqrt(5+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ x \
lim |---------------------|
x->0+| _______ _______|
\\/ 5 - x - \/ 5 + x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right)$$
Limit(x/(sqrt(5 - x) - sqrt(5 + x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 5}$$
obtendremos
$$\frac{x \left(\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 5}\right)}{\left(\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}\right) \left(\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 5}\right)}$$
=
$$\frac{x \left(\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 5}\right)}{\left(-1\right) 2 x}$$
=
$$- \frac{\sqrt{5 - x}}{2} - \frac{\sqrt{x + 5}}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sqrt{5 - x}}{2} - \frac{\sqrt{x + 5}}{2}\right)$$
=
$$- \sqrt{5}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 5}$$
obtendremos
$$\frac{x \left(\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 5}\right)}{\left(\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}\right) \left(\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 5}\right)}$$
=
$$\frac{x \left(\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 5}\right)}{\left(-1\right) 2 x}$$
=
$$- \frac{\sqrt{5 - x}}{2} - \frac{\sqrt{x + 5}}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sqrt{5 - x}}{2} - \frac{\sqrt{x + 5}}{2}\right)$$
=
$$- \sqrt{5}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{- \frac{1}{2 \sqrt{x + 5}} - \frac{1}{2 \sqrt{5 - x}}}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{- \frac{1}{2 \sqrt{x + 5}} - \frac{1}{2 \sqrt{5 - x}}}$$
=
$$- \sqrt{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{- \frac{1}{2 \sqrt{x + 5}} - \frac{1}{2 \sqrt{5 - x}}}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{- \frac{1}{2 \sqrt{x + 5}} - \frac{1}{2 \sqrt{5 - x}}}$$
=
$$- \sqrt{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ x \
lim |---------------------|
x->0+| _______ _______|
\\/ 5 - x - \/ 5 + x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right)$$
___ -\/ 5
$$- \sqrt{5}$$
= -2.23606797749979
/ x \
lim |---------------------|
x->0-| _______ _______|
\\/ 5 - x - \/ 5 + x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right)$$
___ -\/ 5
$$- \sqrt{5}$$
= -2.23606797749979
= -2.23606797749979
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right) = - \sqrt{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right) = - \sqrt{5}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right) = - \frac{1}{-2 + \sqrt{6}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right) = - \frac{1}{-2 + \sqrt{6}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right) = - \sqrt{5}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right) = - \frac{1}{-2 + \sqrt{6}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right) = - \frac{1}{-2 + \sqrt{6}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x + 5}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico