Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-27+x^3)/(-3+x)
-
Límite de (-6+x+x^2)/(-2+x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(20+x^2-12*x)
-
Límite de tan(5*x)/x
-
Expresiones idénticas
- sin(cinco *x)/tan(x)
- seno de (5 multiplicar por x) dividir por tangente de (x)
- seno de (cinco multiplicar por x) dividir por tangente de (x)
- sin(5x)/tan(x)
- sin5x/tanx
- sin(5*x) dividir por tan(x)
-
Expresiones semejantes
- sin(5*x)/tan(x^2)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(5*x)/x
- sin(2*x)/(3*x)
- sin(x)^x
- sin(2*x)
- sin(6*x)/x
- Tangente tan
- tan(5*x)/x
- tan(3*x)/sin(2*x)
- tan(x)/tan(5*x)
- tanh(x)^2
- tan(x/2)^2/x^3
Límite de la función sin(5*x)/tan(x)
Solución
Ha introducido
[src]
/sin(5*x)\ lim |--------| x->0+\ tan(x) /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
Limit(sin(5*x)/tan(x), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x} \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
Sustituimos
$$u = 5 x$$
y
$$v = x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\tan{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$5 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\tan{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$5 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}$$
cambiamos
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(v \right)}}{v}\right) = \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v \cos{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right) \lim_{v \to 0^+} \frac{1}{\cos{\left(v \right)}} = \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = 5$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x} \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
Sustituimos
$$u = 5 x$$
y
$$v = x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\tan{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$5 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\tan{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$5 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}$$
cambiamos
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(v \right)}}{v}\right) = \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v \cos{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right) \lim_{v \to 0^+} \frac{1}{\cos{\left(v \right)}} = \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = 5$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(5 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}}{\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)$$
=
$$5$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(5 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}}{\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)$$
=
$$5$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/sin(5*x)\ lim |--------| x->0+\ tan(x) /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
5
$$5$$
= 5.0
/sin(5*x)\ lim |--------| x->0-\ tan(x) /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
5
$$5$$
= 5.0
= 5.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = 5$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = 5$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(5 \right)}}{\tan{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(5 \right)}}{\tan{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = 5$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(5 \right)}}{\tan{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(5 \right)}}{\tan{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico