Sr Examen

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sin(5*x)/tan(x)
Límite de la función/ tan(x)/ sin(5*x)/ sin(5*x)/tan(x)

Límite de la función sin(5*x)/tan(x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /sin(5*x)\
 lim |--------|
x->0+\ tan(x) /
lim⁡x→0+(sin⁡(5x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) 
Limit(sin(5*x)/tan(x), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→0+(sin⁡(5x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)
cambiamos
lim⁡x→0+(sin⁡(5x)tan⁡(x))=lim⁡x→0+(sin⁡(5x)xxtan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x} \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(sin⁡(5x)x)lim⁡x→0+(xtan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right)
=
Sustituimos
u=5xu = 5 x
y
v=xv = x
entonces
lim⁡x→0+(sin⁡(5x)tan⁡(x))=lim⁡u→0+(5sin⁡(u)u)lim⁡v→0+(vtan⁡(v))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\tan{\left(v \right)}}\right)
=
5lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)lim⁡v→0+(vtan⁡(v))5 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\tan{\left(v \right)}}\right)
=
5lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)(lim⁡v→0+(tan⁡(v)v))−15 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}
cambiamos
lim⁡v→0+(tan⁡(v)v)=lim⁡v→0+(sin⁡(v)vcos⁡(v))\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(v \right)}}{v}\right) = \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v \cos{\left(v \right)}}\right)
=
lim⁡v→0+(sin⁡(v)v)lim⁡v→0+1cos⁡(v)=lim⁡v→0+(sin⁡(v)v)\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right) \lim_{v \to 0^+} \frac{1}{\cos{\left(v \right)}} = \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)
El límite
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
hay el primer límite, es igual a 1.

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→0+(sin⁡(5x)tan⁡(x))=5\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = 5
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+sin⁡(5x)=0\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(5 x \right)} = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+tan⁡(x)=0\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(x \right)} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(sin⁡(5x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddxsin⁡(5x)ddxtan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}}{\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(5cos⁡(5x)tan⁡2(x)+1)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)
=
lim⁡x→0+(5tan⁡2(x)+1)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)
=
lim⁡x→0+(5tan⁡2(x)+1)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)
=
55
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-1010
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
5
55
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /sin(5*x)\
 lim |--------|
x->0+\ tan(x) /
lim⁡x→0+(sin⁡(5x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) 
5
55 
= 5.0
     /sin(5*x)\
 lim |--------|
x->0-\ tan(x) /
lim⁡x→0−(sin⁡(5x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) 
5
55 
= 5.0
= 5.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(sin⁡(5x)tan⁡(x))=5\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = 5
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(sin⁡(5x)tan⁡(x))=5\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = 5
lim⁡x→∞(sin⁡(5x)tan⁡(x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(sin⁡(5x)tan⁡(x))=sin⁡(5)tan⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(5 \right)}}{\tan{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(sin⁡(5x)tan⁡(x))=sin⁡(5)tan⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(5 \right)}}{\tan{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(sin⁡(5x)tan⁡(x))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
5.0
5.0
Gráfico
Límite de la función sin(5*x)/tan(x)
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