Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- e^(sqrt(x))*e^(-sqrt(uno +x))
- e en el grado ( raíz cuadrada de (x)) multiplicar por e en el grado ( menos raíz cuadrada de (1 más x))
- e en el grado ( raíz cuadrada de (x)) multiplicar por e en el grado ( menos raíz cuadrada de (uno más x))
- e^(√(x))*e^(-√(1+x))
- e(sqrt(x))*e(-sqrt(1+x))
- esqrtx*e-sqrt1+x
- e^(sqrt(x))e^(-sqrt(1+x))
- e(sqrt(x))e(-sqrt(1+x))
- esqrtxe-sqrt1+x
- e^sqrtxe^-sqrt1+x
-
Expresiones semejantes
- e^(sqrt(x))*e^(sqrt(1+x))
- e^(sqrt(x))*e^(-sqrt(1-x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*(sqrt(2+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(1+tan(x))-sqrt(1+sin(x))/x^3
- sqrt(x^2-3*x)-x
- sqrt(1+x^2)/x
- sqrt(8+x^3)*(sqrt(2+x^3)-sqrt(-1+x^3))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*(sqrt(2+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(1+tan(x))-sqrt(1+sin(x))/x^3
- sqrt(x^2-3*x)-x
- sqrt(1+x^2)/x
- sqrt(8+x^3)*(sqrt(2+x^3)-sqrt(-1+x^3))
Límite de la función e^(sqrt(x))*e^(-sqrt(1+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___ _______\
| \/ x -\/ 1 + x |
lim \E *E /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{\sqrt{x}} e^{- \sqrt{x + 1}}\right)$$
Limit(E^(sqrt(x))*E^(-sqrt(1 + x)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} e^{\sqrt{x}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} e^{\sqrt{x + 1}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{\sqrt{x}} e^{- \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{\sqrt{x}} e^{- \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} e^{\sqrt{x}}}{\frac{d}{d x} e^{\sqrt{x + 1}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1} e^{\sqrt{x}} e^{- \sqrt{x + 1}}}{\sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sqrt{x + 1} e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}{\frac{d}{d x} e^{\sqrt{x + 1}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sqrt{x + 1} \left(\frac{\sqrt{x + 1} e^{\sqrt{x}}}{2 x} + \frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x + 1}} - \frac{\sqrt{x + 1} e^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}\right) e^{- \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sqrt{x + 1} \left(\frac{\sqrt{x + 1} e^{\sqrt{x}}}{2 x} + \frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x + 1}} - \frac{\sqrt{x + 1} e^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}\right) e^{- \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} e^{\sqrt{x}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} e^{\sqrt{x + 1}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{\sqrt{x}} e^{- \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{\sqrt{x}} e^{- \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} e^{\sqrt{x}}}{\frac{d}{d x} e^{\sqrt{x + 1}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1} e^{\sqrt{x}} e^{- \sqrt{x + 1}}}{\sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sqrt{x + 1} e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}{\frac{d}{d x} e^{\sqrt{x + 1}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sqrt{x + 1} \left(\frac{\sqrt{x + 1} e^{\sqrt{x}}}{2 x} + \frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x + 1}} - \frac{\sqrt{x + 1} e^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}\right) e^{- \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sqrt{x + 1} \left(\frac{\sqrt{x + 1} e^{\sqrt{x}}}{2 x} + \frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x + 1}} - \frac{\sqrt{x + 1} e^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}\right) e^{- \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{\sqrt{x}} e^{- \sqrt{x + 1}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(e^{\sqrt{x}} e^{- \sqrt{x + 1}}\right) = e^{-1}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{\sqrt{x}} e^{- \sqrt{x + 1}}\right) = e^{-1}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(e^{\sqrt{x}} e^{- \sqrt{x + 1}}\right) = \frac{e}{e^{\sqrt{2}}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(e^{\sqrt{x}} e^{- \sqrt{x + 1}}\right) = \frac{e}{e^{\sqrt{2}}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{\sqrt{x}} e^{- \sqrt{x + 1}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(e^{\sqrt{x}} e^{- \sqrt{x + 1}}\right) = e^{-1}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{\sqrt{x}} e^{- \sqrt{x + 1}}\right) = e^{-1}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(e^{\sqrt{x}} e^{- \sqrt{x + 1}}\right) = \frac{e}{e^{\sqrt{2}}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(e^{\sqrt{x}} e^{- \sqrt{x + 1}}\right) = \frac{e}{e^{\sqrt{2}}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{\sqrt{x}} e^{- \sqrt{x + 1}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico