Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de ((4+3*x)/(-2+3*x))^(-7+5*x)
-
Expresiones idénticas
- log(uno + dos ^x)*log(uno + tres /x)
- logaritmo de (1 más 2 en el grado x) multiplicar por logaritmo de (1 más 3 dividir por x)
- logaritmo de (uno más dos en el grado x) multiplicar por logaritmo de (uno más tres dividir por x)
- log(1+2x)*log(1+3/x)
- log1+2x*log1+3/x
- log(1+2^x)log(1+3/x)
- log(1+2x)log(1+3/x)
- log1+2xlog1+3/x
- log1+2^xlog1+3/x
- log(1+2^x)*log(1+3 dividir por x)
-
Expresiones semejantes
- log(1+2^x)*log(1-3/x)
- log(1-2^x)*log(1+3/x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(1+x^2)/(1-sqrt(1+x^2))
- log(cos(3*x))/log(cos(5*x))
- log(1+sin(x))/sin(x)^4
- log(1+k*x)/x
- log(x)/(1+x^2)
- Logaritmo log
- log(1+x^2)/(1-sqrt(1+x^2))
- log(cos(3*x))/log(cos(5*x))
- log(1+sin(x))/sin(x)^4
- log(1+k*x)/x
- log(x)/(1+x^2)
Límite de la función log(1+2^x)*log(1+3/x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ / x\ / 3\\ lim |log\1 + 2 /*log|1 + -|| x->oo\ \ x//
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}\right)$$
Limit(log(1 + 2^x)*log(1 + 3/x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(2^{x} + 1 \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 3}{x} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\frac{x + 3}{x} \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 3}{x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{2}}{3 \left(- \frac{2^{x} x}{2^{x} x \log{\left(2 \right)} \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2} + 3 \cdot 2^{x} \log{\left(2 \right)} \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2}} - \frac{x}{2^{x} x \log{\left(2 \right)} \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2} + 3 \cdot 2^{x} \log{\left(2 \right)} \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{2}}{3 \left(- \frac{2^{x} x}{2^{x} x \log{\left(2 \right)} \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2} + 3 \cdot 2^{x} \log{\left(2 \right)} \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2}} - \frac{x}{2^{x} x \log{\left(2 \right)} \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2} + 3 \cdot 2^{x} \log{\left(2 \right)} \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2}}\right)}\right)$$
=
$$3 \log{\left(2 \right)}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(2^{x} + 1 \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 3}{x} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\frac{x + 3}{x} \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 3}{x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{2}}{3 \left(- \frac{2^{x} x}{2^{x} x \log{\left(2 \right)} \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2} + 3 \cdot 2^{x} \log{\left(2 \right)} \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2}} - \frac{x}{2^{x} x \log{\left(2 \right)} \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2} + 3 \cdot 2^{x} \log{\left(2 \right)} \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{2}}{3 \left(- \frac{2^{x} x}{2^{x} x \log{\left(2 \right)} \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2} + 3 \cdot 2^{x} \log{\left(2 \right)} \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2}} - \frac{x}{2^{x} x \log{\left(2 \right)} \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2} + 3 \cdot 2^{x} \log{\left(2 \right)} \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2}}\right)}\right)$$
=
$$3 \log{\left(2 \right)}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}\right) = 3 \log{\left(2 \right)}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}\right) = 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}\right) = 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}\right) = 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}\right) = 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)} \log{\left(2^{x} + 1 \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico