Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2+x)^(-2)
-
Límite de (x+3^x)^(1/x)
-
Límite de (8+x^3-4*x-2*x^2)/(16+x^4-8*x^2)
-
Límite de ((-2+x)/(3+x))^(4-x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno + tres *x^ dos + cinco *x)-sqrt(- uno + dos *x+ tres *x^ dos)
- raíz cuadrada de (1 más 3 multiplicar por x al cuadrado más 5 multiplicar por x) menos raíz cuadrada de ( menos 1 más 2 multiplicar por x más 3 multiplicar por x al cuadrado )
- raíz cuadrada de (uno más tres multiplicar por x en el grado dos más cinco multiplicar por x) menos raíz cuadrada de ( menos uno más dos multiplicar por x más tres multiplicar por x en el grado dos)
- √(1+3*x^2+5*x)-√(-1+2*x+3*x^2)
- sqrt(1+3*x2+5*x)-sqrt(-1+2*x+3*x2)
- sqrt1+3*x2+5*x-sqrt-1+2*x+3*x2
- sqrt(1+3*x²+5*x)-sqrt(-1+2*x+3*x²)
- sqrt(1+3*x en el grado 2+5*x)-sqrt(-1+2*x+3*x en el grado 2)
- sqrt(1+3x^2+5x)-sqrt(-1+2x+3x^2)
- sqrt(1+3x2+5x)-sqrt(-1+2x+3x2)
- sqrt1+3x2+5x-sqrt-1+2x+3x2
- sqrt1+3x^2+5x-sqrt-1+2x+3x^2
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1+3*x^2+5*x)+sqrt(-1+2*x+3*x^2)
- sqrt(1+3*x^2+5*x)-sqrt(1+2*x+3*x^2)
- sqrt(1+3*x^2+5*x)-sqrt(-1-2*x+3*x^2)
- sqrt(1+3*x^2+5*x)-sqrt(-1+2*x-3*x^2)
- sqrt(1-3*x^2+5*x)-sqrt(-1+2*x+3*x^2)
- sqrt(1+3*x^2-5*x)-sqrt(-1+2*x+3*x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(3+x+x^2)-sqrt(1+x^2-3*x)
- sqrt((1+x)*(2+x))-sqrt((-1+x)*(3+x))
- sqrt(x^2+5*x)-sqrt(4+x^2)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2+3*x)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2-2*x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(3+x+x^2)-sqrt(1+x^2-3*x)
- sqrt((1+x)*(2+x))-sqrt((-1+x)*(3+x))
- sqrt(x^2+5*x)-sqrt(4+x^2)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2+3*x)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2-2*x)
Límite de la función sqrt(1+3*x^2+5*x)-sqrt(-1+2*x+3*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________________ _________________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ 1 + 3*x + 5*x - \/ -1 + 2*x + 3*x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right)$$
Limit(sqrt(1 + 3*x^2 + 5*x) - sqrt(-1 + 2*x + 3*x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right) \left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right)}{\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)}\right)^{2} - \left(\sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right)^{2}}{\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)\right) + \left(- 3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)\right)}{\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + 2}{\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{x}}{\frac{\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)}}{x} + \frac{\sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{x}}{\sqrt{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{3 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{x}}{\sqrt{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{3 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u + 3}{\sqrt{- u^{2} + 2 u + 3} + \sqrt{u^{2} + 5 u + 3}}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 2 + 3}{\sqrt{0^{2} + 0 \cdot 5 + 3} + \sqrt{- 0^{2} + 0 \cdot 2 + 3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right) \left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right)}{\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)}\right)^{2} - \left(\sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right)^{2}}{\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)\right) + \left(- 3 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)\right)}{\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + 2}{\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} + \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{x}}{\frac{\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)}}{x} + \frac{\sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{x}}{\sqrt{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{3 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{x}}{\sqrt{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{3 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u + 3}{\sqrt{- u^{2} + 2 u + 3} + \sqrt{u^{2} + 5 u + 3}}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 2 + 3}{\sqrt{0^{2} + 0 \cdot 5 + 3} + \sqrt{- 0^{2} + 0 \cdot 2 + 3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right) = 1 - i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right) = 1 - i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right) = 1 - i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right) = 1 - i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{5 x + \left(3 x^{2} + 1\right)} - \sqrt{3 x^{2} + \left(2 x - 1\right)}\right) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Más detalles con x→-oo