Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-log(pi)+log(2*x))/(cos(x)*sin(5*x/2))
-
Límite de (e^pi-e^x)/(-sin(3*x)+sin(5*x))
-
Límite de (e^(5*x)-e^x)/(x^3+asin(x))
-
Límite de (-1+e^(4*x))/sin(pi*(1+x/2))
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno +x^ dos)+sqrt(x)/((x+x^ tres)^(uno / cuatro)-x)
- raíz cuadrada de (1 más x al cuadrado ) más raíz cuadrada de (x) dividir por ((x más x al cubo ) en el grado (1 dividir por 4) menos x)
- raíz cuadrada de (uno más x en el grado dos) más raíz cuadrada de (x) dividir por ((x más x en el grado tres) en el grado (uno dividir por cuatro) menos x)
- √(1+x^2)+√(x)/((x+x^3)^(1/4)-x)
- sqrt(1+x2)+sqrt(x)/((x+x3)(1/4)-x)
- sqrt1+x2+sqrtx/x+x31/4-x
- sqrt(1+x²)+sqrt(x)/((x+x³)^(1/4)-x)
- sqrt(1+x en el grado 2)+sqrt(x)/((x+x en el grado 3) en el grado (1/4)-x)
- sqrt1+x^2+sqrtx/x+x^3^1/4-x
- sqrt(1+x^2)+sqrt(x) dividir por ((x+x^3)^(1 dividir por 4)-x)
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1-x^2)+sqrt(x)/((x+x^3)^(1/4)-x)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x)/((x+x^3)^(1/4)-x)
- sqrt(1+x^2)+sqrt(x)/((x+x^3)^(1/4)+x)
- sqrt(1+x^2)+sqrt(x)/((x-x^3)^(1/4)-x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2-2*x)/x^38
- sqrt(10+5*x^2)-sqrt(x^2-2*x)
- sqrt(x*(-6+x))-x
- sqrt(5-7*n^7+7*n^12)/(2-8*n^5)
- sqrt(-3+x^2-x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2-2*x)/x^38
- sqrt(10+5*x^2)-sqrt(x^2-2*x)
- sqrt(x*(-6+x))-x
- sqrt(5-7*n^7+7*n^12)/(2-8*n^5)
- sqrt(-3+x^2-x)
Límite de la función sqrt(1+x^2)+sqrt(x)/((x+x^3)^(1/4)-x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________ ___ \
| / 2 \/ x |
lim |\/ 1 + x + ---------------|
x->oo| ________ |
| 4 / 3 |
\ \/ x + x - x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{- x + \sqrt[4]{x^{3} + x}} + \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$
Limit(sqrt(1 + x^2) + sqrt(x)/((x + x^3)^(1/4) - x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - x \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt[4]{x^{3} + x}\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt[4]{x^{3} + x}\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{- x + \sqrt[4]{x^{3} + x}} + \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} + \left(- x + \sqrt[4]{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) \sqrt{x^{2} + 1}}{- x + \sqrt[4]{x \left(x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} - x \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt[4]{x^{3} + x}\right)}{\frac{d}{d x} \left(- x + \sqrt[4]{x^{3} + x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}{4 \left(x^{3} + x\right)^{\frac{3}{4}}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{x \sqrt[4]{x^{3} + x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \sqrt{x^{2} + 1} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{4 \left(x^{3} + x\right)^{\frac{3}{4}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 x^{2}}{4 \left(x^{3} + x\right)^{\frac{3}{4}}} - 1 + \frac{1}{4 \left(x^{3} + x\right)^{\frac{3}{4}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}{4 \left(x^{3} + x\right)^{\frac{3}{4}}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{x \sqrt[4]{x^{3} + x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \sqrt{x^{2} + 1} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{4 \left(x^{3} + x\right)^{\frac{3}{4}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 x^{2}}{4 \left(x^{3} + x\right)^{\frac{3}{4}}} - 1 + \frac{1}{4 \left(x^{3} + x\right)^{\frac{3}{4}}}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
-oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - x \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt[4]{x^{3} + x}\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt[4]{x^{3} + x}\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{- x + \sqrt[4]{x^{3} + x}} + \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} + \left(- x + \sqrt[4]{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) \sqrt{x^{2} + 1}}{- x + \sqrt[4]{x \left(x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} - x \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt[4]{x^{3} + x}\right)}{\frac{d}{d x} \left(- x + \sqrt[4]{x^{3} + x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}{4 \left(x^{3} + x\right)^{\frac{3}{4}}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{x \sqrt[4]{x^{3} + x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \sqrt{x^{2} + 1} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{4 \left(x^{3} + x\right)^{\frac{3}{4}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 x^{2}}{4 \left(x^{3} + x\right)^{\frac{3}{4}}} - 1 + \frac{1}{4 \left(x^{3} + x\right)^{\frac{3}{4}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}{4 \left(x^{3} + x\right)^{\frac{3}{4}}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{x \sqrt[4]{x^{3} + x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \sqrt{x^{2} + 1} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{4 \left(x^{3} + x\right)^{\frac{3}{4}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 x^{2}}{4 \left(x^{3} + x\right)^{\frac{3}{4}}} - 1 + \frac{1}{4 \left(x^{3} + x\right)^{\frac{3}{4}}}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{- x + \sqrt[4]{x^{3} + x}} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x}}{- x + \sqrt[4]{x^{3} + x}} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x}}{- x + \sqrt[4]{x^{3} + x}} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x}}{- x + \sqrt[4]{x^{3} + x}} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = \frac{- \sqrt{2} + 1 + 2^{\frac{3}{4}}}{-1 + \sqrt[4]{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x}}{- x + \sqrt[4]{x^{3} + x}} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = \frac{- \sqrt{2} + 1 + 2^{\frac{3}{4}}}{-1 + \sqrt[4]{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{- x + \sqrt[4]{x^{3} + x}} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x}}{- x + \sqrt[4]{x^{3} + x}} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x}}{- x + \sqrt[4]{x^{3} + x}} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x}}{- x + \sqrt[4]{x^{3} + x}} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = \frac{- \sqrt{2} + 1 + 2^{\frac{3}{4}}}{-1 + \sqrt[4]{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x}}{- x + \sqrt[4]{x^{3} + x}} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = \frac{- \sqrt{2} + 1 + 2^{\frac{3}{4}}}{-1 + \sqrt[4]{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{- x + \sqrt[4]{x^{3} + x}} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo