Sr Examen

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x+tan(x)/sin(x)
Límite de la función/ sin(x)/ tan(x)/ x+tan(x)/sin(x)

Límite de la función x+tan(x)/sin(x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /    tan(x)\
 lim |x + ------|
x->0+\    sin(x)/
lim⁡x→0+(x+tan⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(x + \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) 
Limit(x + tan(x)/sin(x), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(xsin⁡(x)+tan⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(x \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+sin⁡(x)=0\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(x+tan⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(x + \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→0+(xsin⁡(x)+tan⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(xsin⁡(x)+tan⁡(x))ddxsin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(xcos⁡(x)+sin⁡(x)+tan⁡2(x)+1cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(xcos⁡(x)+sin⁡(x)+tan⁡2(x)+1cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cos{\left(x \right)}}\right)
=
11
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5050
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /    tan(x)\
 lim |x + ------|
x->0+\    sin(x)/
lim⁡x→0+(x+tan⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(x + \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) 
1
11 
= 1.0
     /    tan(x)\
 lim |x + ------|
x->0-\    sin(x)/
lim⁡x→0−(x+tan⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to 0^-}\left(x + \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) 
1
11 
= 1.0
= 1.0
Respuesta rápida [src] 
1
11
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(x+tan⁡(x)sin⁡(x))=1\lim_{x \to 0^-}\left(x + \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 1
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(x+tan⁡(x)sin⁡(x))=1\lim_{x \to 0^+}\left(x + \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 1
lim⁡x→∞(x+tan⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to \infty}\left(x + \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(x+tan⁡(x)sin⁡(x))=sin⁡(1)+tan⁡(1)sin⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(x + \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)} + \tan{\left(1 \right)}}{\sin{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(x+tan⁡(x)sin⁡(x))=sin⁡(1)+tan⁡(1)sin⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(x + \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)} + \tan{\left(1 \right)}}{\sin{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(x+tan⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to -\infty}\left(x + \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
1.0
1.0
Gráfico
Límite de la función x+tan(x)/sin(x)
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