Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} 3^{- 2 n} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{x^{- n}}{n!}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(3^{- 2 n} x^{n} n!\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(3^{- 2 n} x^{n} n!\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(3^{- 2 n} x^{n} n!\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 0 vez (veces)