Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x/(-2+x)
-
Límite de x^(-2)
-
Límite de (-4+x^2)/(6+x^2-5*x)
-
Límite de (2-sqrt(-3+x))/(-49+x^2)
-
Expresiones idénticas
- x^(-x)*(uno +x)^(uno +x)*log((dos +x)/(uno +x))/log((uno +x)/x)
- x en el grado ( menos x) multiplicar por (1 más x) en el grado (1 más x) multiplicar por logaritmo de ((2 más x) dividir por (1 más x)) dividir por logaritmo de ((1 más x) dividir por x)
- x en el grado ( menos x) multiplicar por (uno más x) en el grado (uno más x) multiplicar por logaritmo de ((dos más x) dividir por (uno más x)) dividir por logaritmo de ((uno más x) dividir por x)
- x(-x)*(1+x)(1+x)*log((2+x)/(1+x))/log((1+x)/x)
- x-x*1+x1+x*log2+x/1+x/log1+x/x
- x^(-x)(1+x)^(1+x)log((2+x)/(1+x))/log((1+x)/x)
- x(-x)(1+x)(1+x)log((2+x)/(1+x))/log((1+x)/x)
- x-x1+x1+xlog2+x/1+x/log1+x/x
- x^-x1+x^1+xlog2+x/1+x/log1+x/x
- x^(-x)*(1+x)^(1+x)*log((2+x) dividir por (1+x)) dividir por log((1+x) dividir por x)
-
Expresiones semejantes
- x^(-x)*(1+x)^(1+x)*log((2+x)/(1+x))/log((1-x)/x)
- x^(x)*(1+x)^(1+x)*log((2+x)/(1+x))/log((1+x)/x)
- x^(-x)*(1-x)^(1+x)*log((2+x)/(1+x))/log((1+x)/x)
- x^(-x)*(1+x)^(1+x)*log((2+x)/(1-x))/log((1+x)/x)
- x^(-x)*(1+x)^(1+x)*log((2-x)/(1+x))/log((1+x)/x)
- x^(-x)*(1+x)^(1-x)*log((2+x)/(1+x))/log((1+x)/x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(1+x)/x
- log(x)^(1/x)
- log(-1+x)
- log(1-7*x)/sin(pi*(7+x))
- log(1+x^2)
- Logaritmo log
- log(1+x)/x
- log(x)^(1/x)
- log(-1+x)
- log(1-7*x)/sin(pi*(7+x))
- log(1+x^2)
Límite de la función x^(-x)*(1+x)^(1+x)*log((2+x)/(1+x))/log((1+x)/x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ -x 1 + x /2 + x\\
|x *(1 + x) *log|-----||
| \1 + x/|
lim |---------------------------|
x->oo| /1 + x\ |
| log|-----| |
\ \ x / /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}\right)$$
Limit(((x^(-x)*(1 + x)^(1 + x))*log((2 + x)/(1 + x)))/log((1 + x)/x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x \left(x + 1\right)^{x}}{x^{2} x^{x} \log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}^{2} + x x^{x} \log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}^{2}} - \frac{x x^{- x} \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}} + \frac{x x^{- x} \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}} + \frac{\left(x + 1\right)^{x}}{x^{2} x^{x} \log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}^{2} + x x^{x} \log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}^{2}} - \frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}} + \frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}}}{\frac{x^{2}}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 4 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}} + \frac{3 x}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 4 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}} - \frac{x}{x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 3 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}} + \frac{2}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 4 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}} - \frac{1}{x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 3 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x \left(x + 1\right)^{x}}{x^{2} x^{x} \log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}^{2} + x x^{x} \log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}^{2}} - \frac{x x^{- x} \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}} + \frac{x x^{- x} \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}} + \frac{\left(x + 1\right)^{x}}{x^{2} x^{x} \log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}^{2} + x x^{x} \log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}^{2}} - \frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}} + \frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}}}{\frac{x^{2}}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 4 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}} + \frac{3 x}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 4 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}} - \frac{x}{x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 3 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}} + \frac{2}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 4 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}} - \frac{1}{x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 3 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x \left(x + 1\right)^{x}}{x^{2} x^{x} \log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}^{2} + x x^{x} \log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}^{2}} - \frac{x x^{- x} \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}} + \frac{x x^{- x} \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}} + \frac{\left(x + 1\right)^{x}}{x^{2} x^{x} \log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}^{2} + x x^{x} \log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}^{2}} - \frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}} + \frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}}}{\frac{x^{2}}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 4 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}} + \frac{3 x}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 4 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}} - \frac{x}{x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 3 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}} + \frac{2}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 4 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}} - \frac{1}{x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 3 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x \left(x + 1\right)^{x}}{x^{2} x^{x} \log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}^{2} + x x^{x} \log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}^{2}} - \frac{x x^{- x} \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}} + \frac{x x^{- x} \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}} + \frac{\left(x + 1\right)^{x}}{x^{2} x^{x} \log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}^{2} + x x^{x} \log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}^{2}} - \frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}} + \frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)}}}{\frac{x^{2}}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 4 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}} + \frac{3 x}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 4 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}} - \frac{x}{x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 3 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}} + \frac{2}{x^{3} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 4 x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 5 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}} - \frac{1}{x^{2} \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 3 x \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}\right) = - \frac{- 4 \log{\left(3 \right)} + 4 \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}\right) = - \frac{- 4 \log{\left(3 \right)} + 4 \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}\right) = - \frac{- 4 \log{\left(3 \right)} + 4 \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}\right) = - \frac{- 4 \log{\left(3 \right)} + 4 \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \log{\left(\frac{x + 2}{x + 1} \right)}}{\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo