Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x \log{\left(x \right)} + x \log{\left(x + 1 \right)} + 2 x - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(2 - \frac{1}{x}\right) - \log{\left(x \right)}\right) + \log{\left(x + 1 \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x \log{\left(x \right)} + x \log{\left(x + 1 \right)} + 2 x - 1}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x \log{\left(x \right)} + x \log{\left(x + 1 \right)} + 2 x - 1\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x + 1} - \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)} + 1\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x + 1} - \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)} + 1\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)