Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x/(-2+x)
-
Límite de x^(-2)
-
Límite de (-4+x^2)/(6+x^2-5*x)
-
Límite de (2-sqrt(-3+x))/(-49+x^2)
-
Expresiones idénticas
- e^x-e^(-x)- dos *x/(x-sin(x))
- e en el grado x menos e en el grado ( menos x) menos 2 multiplicar por x dividir por (x menos seno de (x))
- e en el grado x menos e en el grado ( menos x) menos dos multiplicar por x dividir por (x menos seno de (x))
- ex-e(-x)-2*x/(x-sin(x))
- ex-e-x-2*x/x-sinx
- e^x-e^(-x)-2x/(x-sin(x))
- ex-e(-x)-2x/(x-sin(x))
- ex-e-x-2x/x-sinx
- e^x-e^-x-2x/x-sinx
- e^x-e^(-x)-2*x dividir por (x-sin(x))
-
Expresiones semejantes
- e^x+e^(-x)-2*x/(x-sin(x))
- e^x-e^(-x)-2*x/(x+sin(x))
- e^x-e^(-x)+2*x/(x-sin(x))
- e^x-e^(x)-2*x/(x-sin(x))
- e^x-e^(-x)-2*x/(x-sinx)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)/tan(x)
- sin(4*x)/(-1+sqrt(1+x))
- sin(4*x)/tan(x)
- sin(4*x)/(2*x)
- sin(3*x)/tan(5*x)
Límite de la función e^x-e^(-x)-2*x/(x-sin(x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ x -x 2*x \ lim |E - E - ----------| x->0+\ x - sin(x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 x}{x - \sin{\left(x \right)}} + \left(e^{x} - e^{- x}\right)\right)$$
Limit(E^x - E^(-x) - 2*x/(x - sin(x)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x e^{2 x} - 2 x e^{x} - x - e^{2 x} \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x e^{x} - e^{x} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 x}{x - \sin{\left(x \right)}} + \left(e^{x} - e^{- x}\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- 2 x e^{x} + \left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(e^{2 x} - 1\right)\right) e^{- x}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x e^{2 x} - 2 x e^{x} - x - e^{2 x} \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x e^{x} - e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x e^{2 x} - 2 x e^{x} - 2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)} - e^{2 x} \cos{\left(x \right)} + e^{2 x} - 2 e^{x} + \cos{\left(x \right)} - 1}{x e^{x} - e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x e^{2 x} - 2 x e^{x} - 2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)} - e^{2 x} \cos{\left(x \right)} + e^{2 x} - 2 e^{x} + \cos{\left(x \right)} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x e^{x} - e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + e^{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x e^{2 x} - 2 x e^{x} - 3 e^{2 x} \sin{\left(x \right)} - 4 e^{2 x} \cos{\left(x \right)} + 4 e^{2 x} - 4 e^{x} - \sin{\left(x \right)}}{x e^{x} - 2 e^{x} \cos{\left(x \right)} + 2 e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x e^{2 x} - 2 x e^{x} - 3 e^{2 x} \sin{\left(x \right)} - 4 e^{2 x} \cos{\left(x \right)} + 4 e^{2 x} - 4 e^{x} - \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x e^{x} - 2 e^{x} \cos{\left(x \right)} + 2 e^{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 x e^{2 x} - 2 x e^{x} - 2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)} - 11 e^{2 x} \cos{\left(x \right)} + 12 e^{2 x} - 6 e^{x} - \cos{\left(x \right)}}{x e^{x} + 2 e^{x} \sin{\left(x \right)} - 2 e^{x} \cos{\left(x \right)} + 3 e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 x e^{2 x} - 2 x e^{x} - 2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)} - 11 e^{2 x} \cos{\left(x \right)} + 12 e^{2 x} - 6 e^{x} - \cos{\left(x \right)}}{x e^{x} + 2 e^{x} \sin{\left(x \right)} - 2 e^{x} \cos{\left(x \right)} + 3 e^{x}}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x e^{2 x} - 2 x e^{x} - x - e^{2 x} \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x e^{x} - e^{x} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 x}{x - \sin{\left(x \right)}} + \left(e^{x} - e^{- x}\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- 2 x e^{x} + \left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(e^{2 x} - 1\right)\right) e^{- x}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x e^{2 x} - 2 x e^{x} - x - e^{2 x} \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x e^{x} - e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x e^{2 x} - 2 x e^{x} - 2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)} - e^{2 x} \cos{\left(x \right)} + e^{2 x} - 2 e^{x} + \cos{\left(x \right)} - 1}{x e^{x} - e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x e^{2 x} - 2 x e^{x} - 2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)} - e^{2 x} \cos{\left(x \right)} + e^{2 x} - 2 e^{x} + \cos{\left(x \right)} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x e^{x} - e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + e^{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x e^{2 x} - 2 x e^{x} - 3 e^{2 x} \sin{\left(x \right)} - 4 e^{2 x} \cos{\left(x \right)} + 4 e^{2 x} - 4 e^{x} - \sin{\left(x \right)}}{x e^{x} - 2 e^{x} \cos{\left(x \right)} + 2 e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x e^{2 x} - 2 x e^{x} - 3 e^{2 x} \sin{\left(x \right)} - 4 e^{2 x} \cos{\left(x \right)} + 4 e^{2 x} - 4 e^{x} - \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x e^{x} - 2 e^{x} \cos{\left(x \right)} + 2 e^{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 x e^{2 x} - 2 x e^{x} - 2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)} - 11 e^{2 x} \cos{\left(x \right)} + 12 e^{2 x} - 6 e^{x} - \cos{\left(x \right)}}{x e^{x} + 2 e^{x} \sin{\left(x \right)} - 2 e^{x} \cos{\left(x \right)} + 3 e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 x e^{2 x} - 2 x e^{x} - 2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)} - 11 e^{2 x} \cos{\left(x \right)} + 12 e^{2 x} - 6 e^{x} - \cos{\left(x \right)}}{x e^{x} + 2 e^{x} \sin{\left(x \right)} - 2 e^{x} \cos{\left(x \right)} + 3 e^{x}}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ x -x 2*x \ lim |E - E - ----------| x->0+\ x - sin(x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 x}{x - \sin{\left(x \right)}} + \left(e^{x} - e^{- x}\right)\right)$$
-oo
$$-\infty$$
= -273612.586755559
/ x -x 2*x \ lim |E - E - ----------| x->0-\ x - sin(x)/
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 x}{x - \sin{\left(x \right)}} + \left(e^{x} - e^{- x}\right)\right)$$
-oo
$$-\infty$$
= -273612.613245819
= -273612.613245819
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 x}{x - \sin{\left(x \right)}} + \left(e^{x} - e^{- x}\right)\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 x}{x - \sin{\left(x \right)}} + \left(e^{x} - e^{- x}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 x}{x - \sin{\left(x \right)}} + \left(e^{x} - e^{- x}\right)\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \frac{2 x}{x - \sin{\left(x \right)}} + \left(e^{x} - e^{- x}\right)\right) = \frac{- e^{2} - \sin{\left(1 \right)} + 1 + 2 e + e^{2} \sin{\left(1 \right)}}{- e + e \sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{2 x}{x - \sin{\left(x \right)}} + \left(e^{x} - e^{- x}\right)\right) = \frac{- e^{2} - \sin{\left(1 \right)} + 1 + 2 e + e^{2} \sin{\left(1 \right)}}{- e + e \sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2 x}{x - \sin{\left(x \right)}} + \left(e^{x} - e^{- x}\right)\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 x}{x - \sin{\left(x \right)}} + \left(e^{x} - e^{- x}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 x}{x - \sin{\left(x \right)}} + \left(e^{x} - e^{- x}\right)\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \frac{2 x}{x - \sin{\left(x \right)}} + \left(e^{x} - e^{- x}\right)\right) = \frac{- e^{2} - \sin{\left(1 \right)} + 1 + 2 e + e^{2} \sin{\left(1 \right)}}{- e + e \sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{2 x}{x - \sin{\left(x \right)}} + \left(e^{x} - e^{- x}\right)\right) = \frac{- e^{2} - \sin{\left(1 \right)} + 1 + 2 e + e^{2} \sin{\left(1 \right)}}{- e + e \sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2 x}{x - \sin{\left(x \right)}} + \left(e^{x} - e^{- x}\right)\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico