Sr Examen

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sin(x)/tan(x)
Límite de la función/ sin(x)/ tan(x)/ sin(x)/tan(x)

Límite de la función sin(x)/tan(x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /sin(x)\
 lim |------|
x->oo\tan(x)/
lim⁡x→∞(sin⁡(x)tan⁡(x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) 
Limit(sin(x)/tan(x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→0+(sin⁡(x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)
cambiamos
lim⁡x→0+(sin⁡(x)tan⁡(x))=lim⁡x→0+(sin⁡(x)xxtan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x} \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(sin⁡(x)x)lim⁡x→0+(xtan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(sin⁡(x)tan⁡(x))=lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)lim⁡v→0+(vtan⁡(v))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\tan{\left(v \right)}}\right)
=
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)lim⁡v→0+(vtan⁡(v))\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\tan{\left(v \right)}}\right)
=
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)(lim⁡v→0+(tan⁡(v)v))−1\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}
cambiamos
lim⁡v→0+(tan⁡(v)v)=lim⁡v→0+(sin⁡(v)vcos⁡(v))\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(v \right)}}{v}\right) = \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v \cos{\left(v \right)}}\right)
=
lim⁡v→0+(sin⁡(v)v)lim⁡v→0+1cos⁡(v)=lim⁡v→0+(sin⁡(v)v)\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right) \lim_{v \to 0^+} \frac{1}{\cos{\left(v \right)}} = \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)
El límite
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
hay el primer límite, es igual a 1.

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→0+(sin⁡(x)tan⁡(x))=1\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = 1
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
02468-8-6-4-2-10102-2
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /sin(x)\
 lim |------|
x->0+\tan(x)/
lim⁡x→0+(sin⁡(x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) 
1
11 
= 1.0
     /sin(x)\
 lim |------|
x->0-\tan(x)/
lim⁡x→0−(sin⁡(x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) 
1
11 
= 1.0
= 1.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→∞(sin⁡(x)tan⁡(x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)
lim⁡x→0−(sin⁡(x)tan⁡(x))=1\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = 1
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(sin⁡(x)tan⁡(x))=1\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = 1
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(sin⁡(x)tan⁡(x))=sin⁡(1)tan⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)}}{\tan{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(sin⁡(x)tan⁡(x))=sin⁡(1)tan⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)}}{\tan{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)tan⁡(x))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
     /sin(x)\
 lim |------|
x->oo\tan(x)/
lim⁡x→∞(sin⁡(x)tan⁡(x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}\right)
Abrir y simplificar
Respuesta numérica [src] 
1.0
1.0
Gráfico
Límite de la función sin(x)/tan(x)
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