Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{\sin{\left(x \right)} - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{\left(1 - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}}\right) + \sin{\left(x \right)}}}{\tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{\sin{\left(x \right)} - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1}}{\tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{\sin{\left(x \right)} - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1}}{\frac{d}{d x} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}}{\left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \sqrt{\sin{\left(x \right)} - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1} \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{4 \sqrt{\sin{\left(x \right)} - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1} \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sqrt{\sin{\left(x \right)} - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1}}}{\frac{d}{d x} 4 \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}}{\left(4 \tan^{2}{\left(x \right)} + 4\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\left(- 8 \tan^{2}{\left(x \right)} - 8\right) \left(\sqrt{\sin{\left(x \right)} - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1} \sin{\left(x \right)} - \sqrt{\sin{\left(x \right)} - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1} \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + \sqrt{\sin{\left(x \right)} - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\left(- 8 \tan^{2}{\left(x \right)} - 8\right) \left(\sqrt{\sin{\left(x \right)} - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1} \sin{\left(x \right)} - \sqrt{\sin{\left(x \right)} - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1} \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + \sqrt{\sin{\left(x \right)} - \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} + 1}\right)}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)