Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- x-sqrt(x)*sqrt(- uno +x)
- x menos raíz cuadrada de (x) multiplicar por raíz cuadrada de ( menos 1 más x)
- x menos raíz cuadrada de (x) multiplicar por raíz cuadrada de ( menos uno más x)
- x-√(x)*√(-1+x)
- x-sqrt(x)sqrt(-1+x)
- x-sqrtxsqrt-1+x
-
Expresiones semejantes
- x+sqrt(x)*sqrt(-1+x)
- x-sqrt(x)*sqrt(-1-x)
- x-sqrt(x)*sqrt(1+x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*(sqrt(2+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(1+tan(x))-sqrt(1+sin(x))/x^3
- sqrt(x^2-3*x)-x
- sqrt(1+x^2)/x
- sqrt(8+x^3)*(sqrt(2+x^3)-sqrt(-1+x^3))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*(sqrt(2+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(1+tan(x))-sqrt(1+sin(x))/x^3
- sqrt(x^2-3*x)-x
- sqrt(1+x^2)/x
- sqrt(8+x^3)*(sqrt(2+x^3)-sqrt(-1+x^3))
Límite de la función x-sqrt(x)*sqrt(-1+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___ ________\ lim \x - \/ x *\/ -1 + x / x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right)$$
Limit(x - sqrt(x)*sqrt(-1 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{x \left(x - 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \sqrt{x \left(x - 1\right)}\right) \left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right)}{x + \sqrt{x \left(x - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \left(\sqrt{x \left(x - 1\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{x \left(x - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x \left(x - 1\right)}{x + \sqrt{x \left(x - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x \left(x - 1\right)}{x + \sqrt{x \left(x - 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{x^{2} - x}}{x}}$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x - 1}{x}} + 1}$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + 1}$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + 1}$$ =
$$\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{1 - u} + 1}$$ =
= $$\frac{1}{1 + \sqrt{1 - 0}} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{x \left(x - 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \sqrt{x \left(x - 1\right)}\right) \left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right)}{x + \sqrt{x \left(x - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \left(\sqrt{x \left(x - 1\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{x \left(x - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x \left(x - 1\right)}{x + \sqrt{x \left(x - 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x \left(x - 1\right)}{x + \sqrt{x \left(x - 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{x^{2} - x}}{x}}$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x - 1}{x}} + 1}$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + 1}$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + 1}$$ =
$$\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{1 - u} + 1}$$ =
= $$\frac{1}{1 + \sqrt{1 - 0}} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right) = \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x} \sqrt{x - 1} + x\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo