Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (1-7/x)^x
-
Límite de (1-cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x))/(1-cos(x))
-
Límite de (x-x^3+5*x^2)/(-x^2+2*x^3+7*x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x^ tres /(dos +x))/x
- raíz cuadrada de (x al cubo dividir por (2 más x)) dividir por x
- raíz cuadrada de (x en el grado tres dividir por (dos más x)) dividir por x
- √(x^3/(2+x))/x
- sqrt(x3/(2+x))/x
- sqrtx3/2+x/x
- sqrt(x³/(2+x))/x
- sqrt(x en el grado 3/(2+x))/x
- sqrtx^3/2+x/x
- sqrt(x^3 dividir por (2+x)) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x^3/(2-x))/x
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((2+x)*(3+x))-x
- sqrt(-1-2*x+4*x^2)-sqrt(-8-3*x+4*x^2)
- sqrt(-6+3*x)*(-sqrt(-8+3*x)+2*sqrt(-1+x))
- sqrt(x)+(x^2-x)^(1/3)
- sqrt(-9+x^2)-sqrt(-3+x^2+5*x)
Límite de la función sqrt(x^3/(2+x))/x
Solución
Ha introducido
[src]
/ _______\
| / 3 |
| / x |
| / ----- |
|\/ 2 + x |
lim |------------|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{x}\right)$$
Limit(sqrt(x^3/(2 + x))/x, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}} + 2 \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}\right) \left(- \frac{x^{3}}{2 \left(x^{2} + 4 x + 4\right)} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(x + 2\right)}\right)}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x^{3}}{2 \left(x^{2} + 4 x + 4\right)} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(x + 2\right)}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{x^{3}}{x \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}} + 2 \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16} + \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16} - \frac{3 x^{2}}{x^{2} + 4 x + 4} + \frac{3 x}{x + 2}}{\frac{x^{5} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{2 x^{7}}{x + 2} + \frac{16 x^{6}}{x + 2} + \frac{48 x^{5}}{x + 2} + \frac{64 x^{4}}{x + 2} + \frac{32 x^{3}}{x + 2}} + \frac{2 x^{4} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{7}}{x + 2} + \frac{8 x^{6}}{x + 2} + \frac{24 x^{5}}{x + 2} + \frac{32 x^{4}}{x + 2} + \frac{16 x^{3}}{x + 2}} - \frac{3 x^{4} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{2 x^{6}}{x + 2} + \frac{12 x^{5}}{x + 2} + \frac{24 x^{4}}{x + 2} + \frac{16 x^{3}}{x + 2}} + \frac{2 x^{3} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{7}}{x + 2} + \frac{8 x^{6}}{x + 2} + \frac{24 x^{5}}{x + 2} + \frac{32 x^{4}}{x + 2} + \frac{16 x^{3}}{x + 2}} - \frac{6 x^{3} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{6}}{x + 2} + \frac{6 x^{5}}{x + 2} + \frac{12 x^{4}}{x + 2} + \frac{8 x^{3}}{x + 2}} - \frac{x^{3} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{5}}{x + 2} + \frac{4 x^{3}}{x + 2} + 4 x \frac{x^{3}}{x + 2}} - \frac{6 x^{2} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{6}}{x + 2} + \frac{6 x^{5}}{x + 2} + \frac{12 x^{4}}{x + 2} + \frac{8 x^{3}}{x + 2}} + \frac{3 x^{2}}{x \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}} + 2 \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16} + \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16} - \frac{3 x^{2}}{x^{2} + 4 x + 4} + \frac{3 x}{x + 2}}{\frac{x^{5} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{2 x^{7}}{x + 2} + \frac{16 x^{6}}{x + 2} + \frac{48 x^{5}}{x + 2} + \frac{64 x^{4}}{x + 2} + \frac{32 x^{3}}{x + 2}} + \frac{2 x^{4} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{7}}{x + 2} + \frac{8 x^{6}}{x + 2} + \frac{24 x^{5}}{x + 2} + \frac{32 x^{4}}{x + 2} + \frac{16 x^{3}}{x + 2}} - \frac{3 x^{4} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{2 x^{6}}{x + 2} + \frac{12 x^{5}}{x + 2} + \frac{24 x^{4}}{x + 2} + \frac{16 x^{3}}{x + 2}} + \frac{2 x^{3} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{7}}{x + 2} + \frac{8 x^{6}}{x + 2} + \frac{24 x^{5}}{x + 2} + \frac{32 x^{4}}{x + 2} + \frac{16 x^{3}}{x + 2}} - \frac{6 x^{3} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{6}}{x + 2} + \frac{6 x^{5}}{x + 2} + \frac{12 x^{4}}{x + 2} + \frac{8 x^{3}}{x + 2}} - \frac{x^{3} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{5}}{x + 2} + \frac{4 x^{3}}{x + 2} + 4 x \frac{x^{3}}{x + 2}} - \frac{6 x^{2} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{6}}{x + 2} + \frac{6 x^{5}}{x + 2} + \frac{12 x^{4}}{x + 2} + \frac{8 x^{3}}{x + 2}} + \frac{3 x^{2}}{x \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}} + 2 \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}} + 2 \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}\right) \left(- \frac{x^{3}}{2 \left(x^{2} + 4 x + 4\right)} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(x + 2\right)}\right)}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x^{3}}{2 \left(x^{2} + 4 x + 4\right)} + \frac{3 x^{2}}{2 \left(x + 2\right)}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{x^{3}}{x \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}} + 2 \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16} + \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16} - \frac{3 x^{2}}{x^{2} + 4 x + 4} + \frac{3 x}{x + 2}}{\frac{x^{5} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{2 x^{7}}{x + 2} + \frac{16 x^{6}}{x + 2} + \frac{48 x^{5}}{x + 2} + \frac{64 x^{4}}{x + 2} + \frac{32 x^{3}}{x + 2}} + \frac{2 x^{4} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{7}}{x + 2} + \frac{8 x^{6}}{x + 2} + \frac{24 x^{5}}{x + 2} + \frac{32 x^{4}}{x + 2} + \frac{16 x^{3}}{x + 2}} - \frac{3 x^{4} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{2 x^{6}}{x + 2} + \frac{12 x^{5}}{x + 2} + \frac{24 x^{4}}{x + 2} + \frac{16 x^{3}}{x + 2}} + \frac{2 x^{3} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{7}}{x + 2} + \frac{8 x^{6}}{x + 2} + \frac{24 x^{5}}{x + 2} + \frac{32 x^{4}}{x + 2} + \frac{16 x^{3}}{x + 2}} - \frac{6 x^{3} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{6}}{x + 2} + \frac{6 x^{5}}{x + 2} + \frac{12 x^{4}}{x + 2} + \frac{8 x^{3}}{x + 2}} - \frac{x^{3} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{5}}{x + 2} + \frac{4 x^{3}}{x + 2} + 4 x \frac{x^{3}}{x + 2}} - \frac{6 x^{2} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{6}}{x + 2} + \frac{6 x^{5}}{x + 2} + \frac{12 x^{4}}{x + 2} + \frac{8 x^{3}}{x + 2}} + \frac{3 x^{2}}{x \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}} + 2 \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16} + \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16} - \frac{3 x^{2}}{x^{2} + 4 x + 4} + \frac{3 x}{x + 2}}{\frac{x^{5} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{2 x^{7}}{x + 2} + \frac{16 x^{6}}{x + 2} + \frac{48 x^{5}}{x + 2} + \frac{64 x^{4}}{x + 2} + \frac{32 x^{3}}{x + 2}} + \frac{2 x^{4} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{7}}{x + 2} + \frac{8 x^{6}}{x + 2} + \frac{24 x^{5}}{x + 2} + \frac{32 x^{4}}{x + 2} + \frac{16 x^{3}}{x + 2}} - \frac{3 x^{4} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{2 x^{6}}{x + 2} + \frac{12 x^{5}}{x + 2} + \frac{24 x^{4}}{x + 2} + \frac{16 x^{3}}{x + 2}} + \frac{2 x^{3} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{7}}{x + 2} + \frac{8 x^{6}}{x + 2} + \frac{24 x^{5}}{x + 2} + \frac{32 x^{4}}{x + 2} + \frac{16 x^{3}}{x + 2}} - \frac{6 x^{3} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{6}}{x + 2} + \frac{6 x^{5}}{x + 2} + \frac{12 x^{4}}{x + 2} + \frac{8 x^{3}}{x + 2}} - \frac{x^{3} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{5}}{x + 2} + \frac{4 x^{3}}{x + 2} + 4 x \frac{x^{3}}{x + 2}} - \frac{6 x^{2} \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{\frac{x^{6}}{x + 2} + \frac{6 x^{5}}{x + 2} + \frac{12 x^{4}}{x + 2} + \frac{8 x^{3}}{x + 2}} + \frac{3 x^{2}}{x \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}} + 2 \sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{x}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{x}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{x}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{x}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{x}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x + 2}}}{x}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo