Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Límite de sin(5*x)/(2*x)
-
Expresiones idénticas
- log(uno +n)^n*log(dos +n)^(- uno -n)
- logaritmo de (1 más n) en el grado n multiplicar por logaritmo de (2 más n) en el grado ( menos 1 menos n)
- logaritmo de (uno más n) en el grado n multiplicar por logaritmo de (dos más n) en el grado ( menos uno menos n)
- log(1+n)n*log(2+n)(-1-n)
- log1+nn*log2+n-1-n
- log(1+n)^nlog(2+n)^(-1-n)
- log(1+n)nlog(2+n)(-1-n)
- log1+nnlog2+n-1-n
- log1+n^nlog2+n^-1-n
-
Expresiones semejantes
- log(1-n)^n*log(2+n)^(-1-n)
- log(1+n)^n*log(2+n)^(1-n)
- log(1+n)^n*log(2+n)^(-1+n)
- log(1+n)^n*log(2-n)^(-1-n)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(1+x)/log(x)
- log(1+sin(x))/sin(4*x)
- log(tan(x))/cos(2*x)
- log(x)/(1-x^3)
- log(cos(2*x))/x^2
- Logaritmo log
- log(1+x)/log(x)
- log(1+sin(x))/sin(4*x)
- log(tan(x))/cos(2*x)
- log(x)/(1-x^3)
- log(cos(2*x))/x^2
Límite de la función log(1+n)^n*log(2+n)^(-1-n)
Solución
Ha introducido
[src]
/ n -1 - n \ lim \log (1 + n)*log (2 + n)/ n->oo
$$\lim_{n \to \infty}\left(\log{\left(n + 1 \right)}^{n} \log{\left(n + 2 \right)}^{- n - 1}\right)$$
Limit(log(1 + n)^n*log(2 + n)^(-1 - n), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \log{\left(n + 1 \right)}^{n} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \log{\left(n + 2 \right)}^{n + 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\log{\left(n + 1 \right)}^{n} \log{\left(n + 2 \right)}^{- n - 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \log{\left(n + 1 \right)}^{n}}{\frac{d}{d n} \log{\left(n + 2 \right)}^{n + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{n \log{\left(n + 1 \right)}^{n}}{n \log{\left(n + 1 \right)} + \log{\left(n + 1 \right)}} + \log{\left(n + 1 \right)}^{n} \log{\left(\log{\left(n + 1 \right)} \right)}\right) \log{\left(n + 2 \right)}^{- n}}{\left(\frac{n}{n \log{\left(n + 2 \right)} + 2 \log{\left(n + 2 \right)}} + \log{\left(\log{\left(n + 2 \right)} \right)} + \frac{1}{n \log{\left(n + 2 \right)} + 2 \log{\left(n + 2 \right)}}\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{n \log{\left(n + 1 \right)}^{n}}{n \log{\left(n + 1 \right)} + \log{\left(n + 1 \right)}} + \log{\left(n + 1 \right)}^{n} \log{\left(\log{\left(n + 1 \right)} \right)}\right) \log{\left(n + 2 \right)}^{- n}}{\left(\frac{n}{n \log{\left(n + 2 \right)} + 2 \log{\left(n + 2 \right)}} + \log{\left(\log{\left(n + 2 \right)} \right)} + \frac{1}{n \log{\left(n + 2 \right)} + 2 \log{\left(n + 2 \right)}}\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \log{\left(n + 1 \right)}^{n} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \log{\left(n + 2 \right)}^{n + 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\log{\left(n + 1 \right)}^{n} \log{\left(n + 2 \right)}^{- n - 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \log{\left(n + 1 \right)}^{n}}{\frac{d}{d n} \log{\left(n + 2 \right)}^{n + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{n \log{\left(n + 1 \right)}^{n}}{n \log{\left(n + 1 \right)} + \log{\left(n + 1 \right)}} + \log{\left(n + 1 \right)}^{n} \log{\left(\log{\left(n + 1 \right)} \right)}\right) \log{\left(n + 2 \right)}^{- n}}{\left(\frac{n}{n \log{\left(n + 2 \right)} + 2 \log{\left(n + 2 \right)}} + \log{\left(\log{\left(n + 2 \right)} \right)} + \frac{1}{n \log{\left(n + 2 \right)} + 2 \log{\left(n + 2 \right)}}\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{n \log{\left(n + 1 \right)}^{n}}{n \log{\left(n + 1 \right)} + \log{\left(n + 1 \right)}} + \log{\left(n + 1 \right)}^{n} \log{\left(\log{\left(n + 1 \right)} \right)}\right) \log{\left(n + 2 \right)}^{- n}}{\left(\frac{n}{n \log{\left(n + 2 \right)} + 2 \log{\left(n + 2 \right)}} + \log{\left(\log{\left(n + 2 \right)} \right)} + \frac{1}{n \log{\left(n + 2 \right)} + 2 \log{\left(n + 2 \right)}}\right) \log{\left(n + 2 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\log{\left(n + 1 \right)}^{n} \log{\left(n + 2 \right)}^{- n - 1}\right) = 0$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\log{\left(n + 1 \right)}^{n} \log{\left(n + 2 \right)}^{- n - 1}\right) = \frac{1}{\log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\log{\left(n + 1 \right)}^{n} \log{\left(n + 2 \right)}^{- n - 1}\right) = \frac{1}{\log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\log{\left(n + 1 \right)}^{n} \log{\left(n + 2 \right)}^{- n - 1}\right) = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}^{2}}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\log{\left(n + 1 \right)}^{n} \log{\left(n + 2 \right)}^{- n - 1}\right) = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}^{2}}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\log{\left(n + 1 \right)}^{n} \log{\left(n + 2 \right)}^{- n - 1}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\log{\left(n + 1 \right)}^{n} \log{\left(n + 2 \right)}^{- n - 1}\right) = \frac{1}{\log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\log{\left(n + 1 \right)}^{n} \log{\left(n + 2 \right)}^{- n - 1}\right) = \frac{1}{\log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\log{\left(n + 1 \right)}^{n} \log{\left(n + 2 \right)}^{- n - 1}\right) = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}^{2}}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\log{\left(n + 1 \right)}^{n} \log{\left(n + 2 \right)}^{- n - 1}\right) = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}^{2}}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\log{\left(n + 1 \right)}^{n} \log{\left(n + 2 \right)}^{- n - 1}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo