Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} + \log{\left(x + 2 \right)}^{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 + \frac{\log{\left(x + 2 \right)}^{2}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} + \log{\left(x + 2 \right)}^{2}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + \log{\left(x + 2 \right)}^{2}\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \frac{2 \log{\left(x + 2 \right)}}{x + 2}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x + \frac{2 \log{\left(x + 2 \right)}}{x + 2}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{x^{2} + 4 x + 4} + \frac{1}{x^{2} + 4 x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{x^{2} + 4 x + 4} + \frac{1}{x^{2} + 4 x + 4}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)