Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de ((4+3*x)/(-2+3*x))^(-7+5*x)
-
Expresiones idénticas
- x-sqrt(uno +x+x^ dos)
- x menos raíz cuadrada de (1 más x más x al cuadrado )
- x menos raíz cuadrada de (uno más x más x en el grado dos)
- x-√(1+x+x^2)
- x-sqrt(1+x+x2)
- x-sqrt1+x+x2
- x-sqrt(1+x+x²)
- x-sqrt(1+x+x en el grado 2)
- x-sqrt1+x+x^2
-
Expresiones semejantes
- x-sqrt(1+x-x^2)
- x-sqrt(1-x+x^2)
- x+sqrt(1+x+x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-1+x^2)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(x))
- sqrt(n^2+2*n)-n
- sqrt(n)*(1+(1+n)^2)/(sqrt(1+n)*(1+n^2))
Límite de la función x-sqrt(1+x+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ____________\
| / 2 |
lim \x - \/ 1 + x + x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
Limit(x - sqrt(1 + x + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) \left(x + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)}{x + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \left(\sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x - 1}{x + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x - 1}{x + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- u - 1}{\sqrt{u^{2} + u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{-1 - 0}{1 + \sqrt{0^{2} + 1}} = - \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) \left(x + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)}{x + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \left(\sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x - 1}{x + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x - 1}{x + \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2} + \left(x + 1\right)}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- u - 1}{\sqrt{u^{2} + u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{-1 - 0}{1 + \sqrt{0^{2} + 1}} = - \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1 - \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1 - \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1 - \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 1 - \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \sqrt{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico