Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan^{2}{\left(6 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(3 x \right)}}{\tan^{2}{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \tan^{2}{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(3 x \right)}}{\left(12 \tan^{2}{\left(6 x \right)} + 12\right) \tan{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{4 \tan{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{4 \tan{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\frac{1}{8}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)