Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-5+x)/(-25+x^2)
-
Límite de (x^2-2*x)/(4+x^2-4*x)
-
Límite de (1+x)^(1/x)
- Límite de f*x
-
Expresiones idénticas
- (e^x-e^(-x))/sin(x)
- (e en el grado x menos e en el grado ( menos x)) dividir por seno de (x)
- (ex-e(-x))/sin(x)
- ex-e-x/sinx
- e^x-e^-x/sinx
- (e^x-e^(-x)) dividir por sin(x)
-
Expresiones semejantes
- (e^x+e^(-x))/sin(x)
- (e^x-e^(x))/sin(x)
- (e^x-e^(-x))/sinx
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(2*x)/x
- sin(3*x)/sin(2*x)
- sin(3*x)/(4*x)
- sin(x)^2/x
- sin(x)/(2*x)
Límite de la función (e^x-e^(-x))/sin(x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ x -x\
|E - E |
lim |--------|
x->0+\ sin(x) /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
Limit((E^x - E^(-x))/sin(x), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{2 x} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{2 x} - 1\right) e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{2 x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} e^{x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 e^{2 x}}{e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{2 x} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{2 x} - 1\right) e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{2 x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} e^{x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 e^{2 x}}{e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{-1 + e^{2}}{e \sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{-1 + e^{2}}{e \sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{-1 + e^{2}}{e \sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{-1 + e^{2}}{e \sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ x -x\
|E - E |
lim |--------|
x->0+\ sin(x) /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
2
$$2$$
= 2.0
/ x -x\
|E - E |
lim |--------|
x->0-\ sin(x) /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
2
$$2$$
= 2.0
= 2.0
Gráfico