Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \operatorname{atan}{\left(x \left(x - 1\right) \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2^{x} - 2\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x^{2} - x \right)}}{2^{x} - 2}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \left(x - 1\right) \right)}}{2^{x} - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(x \left(x - 1\right) \right)}}{\frac{d}{d x} \left(2^{x} - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2^{- x} \left(2 x - 1\right)}{\left(x^{2} \left(x - 1\right)^{2} + 1\right) \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\frac{1}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)