Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}{\left(x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sqrt{1 - x^{2}}}{4 x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \sqrt{1 - x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \sqrt{1 - x^{2}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)