Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x^(1-x)
-
Límite de (1-2/x)^x
-
Límite de -2+x
-
Límite de x^2/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- cos(cinco *x)/(dos *x)+ cinco *x/(siete + tres *x)
- coseno de (5 multiplicar por x) dividir por (2 multiplicar por x) más 5 multiplicar por x dividir por (7 más 3 multiplicar por x)
- coseno de (cinco multiplicar por x) dividir por (dos multiplicar por x) más cinco multiplicar por x dividir por (siete más tres multiplicar por x)
- cos(5x)/(2x)+5x/(7+3x)
- cos5x/2x+5x/7+3x
- cos(5*x) dividir por (2*x)+5*x dividir por (7+3*x)
-
Expresiones semejantes
- cos(5*x)/(2*x)+5*x/(7-3*x)
- cos(5*x)/(2*x)-5*x/(7+3*x)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(3*pi*x)^(1/(x*sin(2*pi*x)))
- cos(x)/(1+x)
- cos(x)/cos(2*x)
- cos(pi/(6*x))
- cos(-1+e^(x^2))/(-1+cos(x))
Límite de la función cos(5*x)/(2*x)+5*x/(7+3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/cos(5*x) 5*x \ lim |-------- + -------| x->oo\ 2*x 7 + 3*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x}{3 x + 7} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{2 x}\right)$$
Limit(cos(5*x)/((2*x)) + (5*x)/(7 + 3*x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(10 x^{2} + 3 x \cos{\left(5 x \right)} + 7 \cos{\left(5 x \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(6 x^{2} + 14 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x}{3 x + 7} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{2 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 x^{2} + \left(3 x + 7\right) \cos{\left(5 x \right)}}{2 x \left(3 x + 7\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(10 x^{2} + 3 x \cos{\left(5 x \right)} + 7 \cos{\left(5 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(6 x^{2} + 14 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 15 x \sin{\left(5 x \right)} + 20 x - 35 \sin{\left(5 x \right)} + 3 \cos{\left(5 x \right)}}{12 x + 14}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 15 x \sin{\left(5 x \right)} + 20 x - 35 \sin{\left(5 x \right)} + 3 \cos{\left(5 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(12 x + 14\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{25 x \cos{\left(5 x \right)}}{4} - \frac{5 \sin{\left(5 x \right)}}{2} - \frac{175 \cos{\left(5 x \right)}}{12} + \frac{5}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{25 x \cos{\left(5 x \right)}}{4} - \frac{5 \sin{\left(5 x \right)}}{2} - \frac{175 \cos{\left(5 x \right)}}{12} + \frac{5}{3}\right)$$
=
$$\frac{5}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(10 x^{2} + 3 x \cos{\left(5 x \right)} + 7 \cos{\left(5 x \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(6 x^{2} + 14 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x}{3 x + 7} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{2 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 x^{2} + \left(3 x + 7\right) \cos{\left(5 x \right)}}{2 x \left(3 x + 7\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(10 x^{2} + 3 x \cos{\left(5 x \right)} + 7 \cos{\left(5 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(6 x^{2} + 14 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 15 x \sin{\left(5 x \right)} + 20 x - 35 \sin{\left(5 x \right)} + 3 \cos{\left(5 x \right)}}{12 x + 14}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 15 x \sin{\left(5 x \right)} + 20 x - 35 \sin{\left(5 x \right)} + 3 \cos{\left(5 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(12 x + 14\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{25 x \cos{\left(5 x \right)}}{4} - \frac{5 \sin{\left(5 x \right)}}{2} - \frac{175 \cos{\left(5 x \right)}}{12} + \frac{5}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{25 x \cos{\left(5 x \right)}}{4} - \frac{5 \sin{\left(5 x \right)}}{2} - \frac{175 \cos{\left(5 x \right)}}{12} + \frac{5}{3}\right)$$
=
$$\frac{5}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x}{3 x + 7} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{2 x}\right) = \frac{5}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{5 x}{3 x + 7} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{2 x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 x}{3 x + 7} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{2 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{5 x}{3 x + 7} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\cos{\left(5 \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{5 x}{3 x + 7} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\cos{\left(5 \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x}{3 x + 7} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{2 x}\right) = \frac{5}{3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{5 x}{3 x + 7} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{2 x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 x}{3 x + 7} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{2 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{5 x}{3 x + 7} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\cos{\left(5 \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{5 x}{3 x + 7} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\cos{\left(5 \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x}{3 x + 7} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{2 x}\right) = \frac{5}{3}$$
Más detalles con x→-oo