Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno +x)-sqrt(cuatro +x)
- raíz cuadrada de (1 más x) menos raíz cuadrada de (4 más x)
- raíz cuadrada de (uno más x) menos raíz cuadrada de (cuatro más x)
- √(1+x)-√(4+x)
- sqrt1+x-sqrt4+x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1-x)-sqrt(4+x)
- sqrt(1+x)-sqrt(4-x)
- sqrt(1+x)+sqrt(4+x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2-x)*(-1+x)/(-1+x^2)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2-4*x)
- sqrt(x^2+6*x)-x
- sqrt(3+x^2)-x
- sqrt(-1+x^2)-x
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2-x)*(-1+x)/(-1+x^2)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2-4*x)
- sqrt(x^2+6*x)-x
- sqrt(3+x^2)-x
- sqrt(-1+x^2)-x
Límite de la función sqrt(1+x)-sqrt(4+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ _______ _______\ lim \\/ 1 + x - \/ 4 + x / x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right)$$
Limit(sqrt(1 + x) - sqrt(4 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right) \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 4}\right)}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x + 1}\right)^{2} - \left(\sqrt{x + 4}\right)^{2}}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x - 4\right) + \left(x + 1\right)}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 4}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(x):
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x} \left(\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x + 4}}{\sqrt{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x} \left(\sqrt{\frac{x + 1}{x}} + \sqrt{\frac{x + 4}{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x} \left(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{4}{x}}\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x} \left(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{4}{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{3}{\left(\sqrt{u + 1} + \sqrt{4 u + 1}\right) \sqrt{\frac{1}{u}}}\right)$$ =
= $$- \frac{3}{\tilde{\infty} \left(\sqrt{1} + \sqrt{0 \cdot 4 + 1}\right)} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right) \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 4}\right)}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x + 1}\right)^{2} - \left(\sqrt{x + 4}\right)^{2}}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x - 4\right) + \left(x + 1\right)}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 4}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(x):
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x} \left(\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x + 4}}{\sqrt{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x} \left(\sqrt{\frac{x + 1}{x}} + \sqrt{\frac{x + 4}{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x} \left(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{4}{x}}\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3}{\sqrt{x} \left(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{4}{x}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{3}{\left(\sqrt{u + 1} + \sqrt{4 u + 1}\right) \sqrt{\frac{1}{u}}}\right)$$ =
= $$- \frac{3}{\tilde{\infty} \left(\sqrt{1} + \sqrt{0 \cdot 4 + 1}\right)} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right) = - \sqrt{5} + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right) = - \sqrt{5} + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right) = - \sqrt{5} + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right) = - \sqrt{5} + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico