Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(3 x \right)}}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(3 x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{2 \sin^{2}{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}\right)\right)^{2}}{2}$$
Sustituimos
$$u = \frac{3 x}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u}{3 \sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\frac{2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{3}$$
=
$$\frac{2 \left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}}{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$\frac{\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}\right)\right)^{2}}{2} = \frac{\left(\frac{2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{3}\right)^{2}}{2}$$
=
$$\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}}{2}$$
=
$$\frac{2}{9}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{2}{9}$$