Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x}}{x!}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} 3^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} x^{x}}{x!}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} x^{x}}{x!}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{x}}{x!}}{\frac{d}{d x} 3^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(\frac{x^{x} \log{\left(x \right)}}{x!} + \frac{x^{x}}{x!} - \frac{x^{x} \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x!^{2}}\right)}{\log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(\frac{x^{x} \log{\left(x \right)}}{x!} + \frac{x^{x}}{x!} - \frac{x^{x} \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x!^{2}}\right)}{\log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)